1、第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 1 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续第七节 无穷小的比较一 无穷小的比较二 等价无穷小的替换第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 2 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续一 无穷小的比较例如,20limxxxxxxsinlim02201sinlimxxxx2210 , , ,sin , sin .xxxxx当 时 都是无穷小极限不同, 反映了趋向于零的 “快慢 ”程度不同.2;xx比 要快得多sin ;xx与 大致相同不可比.,0=,1=xx1sinlim0=.不 存在观察各极限第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 3 -第一章第一章函数函数
2、极限极限连续连续(1) lim 0,();o=如果 则称 是比 高阶的无穷 记小 , 作定义 1,0. 设 是同一过程中的两个无穷小 且(3) lim ( 0), ;CC=如果 则称 与 是 同阶的无穷小lim 1, ;=特殊地 如 果 则 称 与 是等价的无穷小记作lim , ;=(2) 如果 则称 是比 的低阶无穷小第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 4 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续lim ( 0, 0),.kCC kk =2如果 就说是关于 的定阶的无穷小义常用等价无穷小: 0,x 当时21sin , tan , 1 cos ,2arcsin , arctan , ln(1
3、 ) ,1 , (1 ) 1 .xxx xx x xx xxxxxex x x+解例13:0,4tan .xxxx证明 当 时 为 的四阶无穷小430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx=,4=30,4tan .xx故当 时 为 的四阶无穷小第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 5 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例20, tan sin .xxxx当 时 求 关 于 的阶数解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20xxxxx=,21=tan sin .xxx 为 的三阶无穷小第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 6 -第一章第一章函数函数极限极限连续
4、连续二 等价无穷小替换定理 1(等价无穷小替换定理), lim ,设且存在则证lim )lim(= limlimlim .lim=lim lim = lim .lim=第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 7 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例320tan 2lim .1cosxxx求解210,1cos ,tan22.2x xx xx当时202(2 )lim12xxx=原式 .8=不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 8 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例430tan sinlim .sin 2xx xx求解0,ta
5、n,sin.x xx xx当时30lim(2 )xx xx=原式.0=解0,x 当时)cos1(tansintan xxxx = ,213x,22sin xx33012lim(2 )xxx=原式.161=错第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 9 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续例 5求11lim .1mnxxx解当1x时，1 (1 ( 1) 1 ( 1)mmxxmx =+ 1 ( 1).nxnx 原式1(1)lim .(1)xmx mnx n=定理 2设 , 是同一趋向过程下的两个无穷小， () ().oo =或则的充要条件是证必要性 . 设 , 即lim 1,=所以lim( 1)
6、0 =或lim 0 =().o =第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 10 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续同理().o =充分性 .设(),o =则lim 0, =即lim 1,=. 定理 2说明(1) 如果(), ,o = + 则所以在求极限时 ,分子或分母高阶无穷小的部分可以不计 .例60tan5 cos 1lim .sin3xx xx +求第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较- 11 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续解tan5 5 ,x xsin3 3 ,xx211cos ,2x x05lim3xxx=原式 .35=1 cos (tan5 ),x ox =tan5 cos 1 tan5 5x xxx +(2) 如果 , 则 与可以互为近似代替 ,误差是 或 的高阶无穷小 .例如 , 当 |1x null 时 ,21sin ,1 cos2x xxx
