1、第 25 计 函数开门 以静显动计名释义函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数） ，例如，考虑二次函数 y=ax2+bx+c 时，是把 x,y 看作一对互动的变数，而把 a,b,c 看作“ 静数”.其实，a,b,c 也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数. 典例示范【例 1】 设双曲线 与直线 x+y=1 相交于两个不同的点 A 和 B，求双曲线离12yax心率的取值范围
2、.【分析】 求取值范围就是求离心率 e 的值域.为此，我们要寻求 e 的函数式.【解答】 按双曲线离心率的关系式，有 )(122afa【插语】 公式 e= 本来是“静式” ，现在让其运动起来，成了函数式 f (a).启ac12发我们求函数 e=f (a)的定义域，即 a 的取值范围.【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组 12yxa【插语】 我们并非要从这个方程中解得 x 和 y 的值，而是要由 “方程组有 2 个解”的条件求出 a2 的取值范围.【续解】 消 y 后整理得 .10)1(8400)1( 22222 aaax 且函数 e=f (a)= 在（0，1）和（1， ）上都是减函数，
3、故有 f (a) 且 f (a)2 6.即所求范围是 .2),2(),6(【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.【附录】 以下我们用函数性质讨论 a2 的取值范围.数学破题 36 计由方程组解得：a 2=h(x)= .由于 0,所以 a21.因为212xx，所以 a22.121x由于相交的两点 A、 B 对应着不同的 x 值，因此 a2 到 x 的对应是 1 对 2，因此在 h (x)中 x2,由此得到 a22. 故有 a2 时，y0，而 14 .216x126126故 x14,+）时函数 y 单调增.x=14 时，y
4、min= aa53714267综上所述，采用方案（1） ，利用旧墙 12 米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为 35a 元.【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点.对应训练1.设 a、 b、 cR ，且它们的绝对值都不大于 1，求证 ab+bc+ca+10.2.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 在左支交于 A，B 两点 ,直线 l 过 P(-2,0)和 AB 线段的中点M，求 l 在
5、y 轴上的截距 b 的取值范围.3.某工厂 2005 年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量 y与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c（其中 a，b，c 为常数) ，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.参考答案1.分析 构造函数 f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于 a 的一次函数，由于 a-1,1 ，只要证明 f (1)0 且 f (-1)0，即可证明 f (a)0.证
6、明 设 f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于 a 的一次函数.a 、 b、 c-1,1 , f (1)= b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)0f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)0.f (a)在-1,1上恒为非负，即 f (a)0. ab+bc+ca+10.点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数 f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决.2.解析 由 消去 y 得(k 2-1)x2+2kx+2=0,)1(2xyxk由题意得 解得 12.,1)(2(k2点
7、评 通过建立 b 与 k 的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定.3.思考 根据题意，该产品的月产量 y 是月份 x 的函数，可供选用的函数有两种 .其中哪一种函数确定的 4 月份该产品的产量愈接近于 1.37 万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式.设 y1=f (x)=px2+qx+r(p，q，r 为常数，且 p0) ，y 2=g(x)=abx+c.据已知，得 31,319243cabr及解得 p=-0.05，q=0.35，r=0.7; a=-0.8，b=0.5，c=1.4 f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7;g(x)=-0.80.5x+1.4. f (4)=1.3，g(4)=1.35,显然 g(4)更接近于 1.37，故选用 y=0.80.5x+1.4 作为模拟函数较好.点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.
