1、第 3 计 诸葛开门 扇到成功计名释义诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.数学解题的高手们，都会“借力打力” ，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.典例示范题 1 已知 f (x)= 试求 f (- 5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 )的值.21分析 若分别求 f (x)在 x= -5，-4，0，6 时的 12 个值然后相加. 这不是不行，只是工作量
2、太大，有没有简单的办法？我们想“借用” 等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心 f (x)+f (1-x)的结果.解析 因为 f (x)+ f (1-x) = 2121xx= )2(121221 xxx= 2)2(x所以 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 )= （f (-5 )+ f (6 ) ）+（f (- 4)+ f (5 )）+（f (6 )+ f (-5 )） 21= f (1-x )+ f (x )6 = 2312点评 这里， “借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法倒序相加法.对应训练1.已知 sin2+sin 2+s
3、in 2=1(、 均为锐角)，那么 coscoscos 的最大值等于 .数学破题 36 计2.求已知离心率 e= ,过点(1,0)且与直线 l:2x-y+3=0 相切于点 P(- ),长轴平52 352，行于 y 轴的椭圆方程.3.若椭圆 (a0)与连结 A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求 a 的22ayx取值范围.参考答案1. 命 sin2=sin 2=sin 2= ,则 cos2=cos 2=cos 2= .、 为692313锐角时，cos=cos=cos= .coscoscos= .69278(注：根据解题常识，最大值应在 cos=cos=cos 时取得).2.解析 按常
4、规,设椭圆中心为(x 0,y0),并列出过已知点 P 的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.已知 e= ,则 a2=5b2.设长轴平行于 y 轴且离心率 e= 的椭圆系为5 52(x+ ，把点 P(- 看做当 k0 时的极限情形(点椭圆),则与ky2)3(1) )35,2直线 l:2x-y+3=0 相切于该点的椭圆系即为过直线 l 与“点椭圆 ”的公共点的椭圆系方程:(x+ 0)2()5()2 yxy又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得 =- .32因此所求椭圆方程为 x2+ =1.5y点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:A,B 两点都在椭圆外;A,B 两点都在椭圆内.若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设 a 的允许值的集合为全集 I=a|aR,a0,先求椭圆和线段 AB 有公共点时的取值范围.易得线段 AB 的方程为 y=x+1,x1,3,由方程组 ,x1,3,123122xaxy得a2的值在1,3内递增,且 x=1 和 x=3 时分别得 a2= 或 a2= ,故 a 2 .941941a0, a .328故当椭圆与线段 AB 无公共点时,a 的取值范围为 0 .238
