1、课题： 函数 yAsin(x )的图象（第一课时）授课教师：南京师范大学附属中学 丁菁教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修 4一、内容与内容解析1本课地位和作用三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用 “函数 yAsin(x)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数 A， ， 变化对函数 yAsin( x)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型2本课内容剖析“函数 y Asin(x)的图象”主要是探讨函数 yA sin(x )的图象与函数 ysinx 的图象之间的关系
2、图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律本节课是“函数 yAsin(x)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨 、A、 对 ysin(x )、y Asin x(A0)、y sinx (0)的图象的影响，再探究 ysin(2x 1) 的图象和 ysin2x 的图象之间的变换关系其中，对参数 的研究方法可以迁移到后续问题解决中去本节课的重点是：对 ysin(x)、yAsinx(A 0)、ysinx(0)的图象和 ysinx 的图象之间的变换规律的理解.二、目标与目标解析1分别
3、探究 、A、 对 ysin(x )、y A sinx(A0)、y sinx (0)的图象的影响；2在理解 、A、 对 ysin(x )、y Asinx(A0)、y sinx (0)的图象的变换规律的基础上，探究 不为 1 时的平移变换；3让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略三、学生学情分析在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律1参数 引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”
4、 ，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；2A、 对 yAsinx(A 0)、ysinx( 0)图象的影响，由学生类比方法独立研究其中，参数 A 和 的取值，学生会忽视 0 A1 和 01 情况，在这里注意引导，从而全面认识参数 A 和 的变化引起的图象变换通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图象变换的一般策略四、教学策略分析本节课的难点是：伸缩变换； 不为 1 时的平移变换突破难点的策略是：通过探讨 对 ysin(x)图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究 A、 对 yAsinx(A0)、y sin x
5、(0)的图象的影响比如，从 ysinx 到 ysinx，代数上是用 x 代换 x，因此是将 ysinx 图象上坐标为(x 0， y0)的点变换到坐标为( x0，y 0)的点，所以是将 ysinx 图象上各点纵坐标1不变、横坐标变为原来的 ；从 ysin2x 的图象变换到 ysin(2x 1)的图象，1究竟是向左平移 1 个单位还是 个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，12如果学生仍有困难，结合几何画板作图观察 教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律学生通过充分地思考和探究，发现函数
6、图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生认知策略的发展五、教学过程1. 创设情境、提出问题如图，摩天轮的半径为 A m (A0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为 rad min (0)，如果当摩天轮上点 P 从图中点 P0 处开始计算时间请在如图所示的坐标系中，确定时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y【设计意图】用数学的眼光观察世界，感悟函数 yAsin
7、(x )是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景借助于实际意义来理解函数yAsin(x ) 的图象性质是自然的、清楚的、明白的！以问题为载体以活动为主线研制策略，优化方案合作探究，感悟方法类比方法，自主探究创设情境，提出问题思考巩固，深化铺垫整理小结，规划任务师生活动：先将点 P0 置于 x 轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到 yA sinx；再 将点 P0 置于如图所示位置，得到在时刻 x min 时点 P 的纵坐标yAsin(x ) 小结：形如 yAsin(x)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足 yAsin(x )，如图所示再比如潮汐现象中
8、水位的高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A0，0 设问 1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？结论：图象板书课题：函数 y Asin(x)（A0， 0）的图象设问 2：显然，参数 A， ， 取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？结论：函数 ysin x2研制策略，优化方案问题 1：如何由 ysinx 的图象得到 yAsin(x )(A0， 0)的图象？师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中 2 个，仅一个
9、变动，先分别探讨 、A 、 对函数 ysin(x )、yA sinx(A0)、ysinx (0)的图象的影响，再综合【设计意图】首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法3合作探究，感悟方法问题 2：如何由 ysinx 的图象得到 ysin(x1)的图象？师生活动：让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？” ；再举几个例子如：y sin(x 1)，ysin(x )； 抽象到一般3板书： ysin x ysin(x 1)点 M (x0，y 0) 点 N
10、(x01，y 0)ysin x ysin(x )点 M (x0，y 0) 点 N(x0 ， y0)【设计意图】第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移变换向左(0)或向右(0)的图象？(2) 如何由 ysinx 的图象得到 ysinx( 0)的图象？师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流 yAsinx( A0)的图象可以看作是把 ysinx 图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的 A 倍得到的板书： y
11、sin x y A sinx (A0) 点 M (x0，y 0) 点 N (x0，Ay 0) ysinx(0)的图象可以看作是把 ysinx 图象上所有点在纵坐标不变的情况下横坐标变为原来的 倍得到的1横坐标不变纵坐标变为原来的 A倍板书： ysin x ysinx (0)点 M (x0，y 0) 点 N ( ，y 0)x0【设计意图】类比前面的探讨方法，请学生独立探究 A、 对 yA sinx、ysinx 的图象有什么影响.此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.设问 3：刚才我们分别探讨了 、A、 对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？结论：（
12、1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析小结： 引起的是图象的平移变换，A 、 引起的是图象的伸缩变换图象变换的本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律5思考巩固，深化铺垫探究：如何由 ysin2x 的图象得到 ysin(2x1)的图象呢？师生活动：学生讨论后交流这里是向左平移 1 个单位还是向左平移 个单位？12利用几何画板画图观察，从坐标关系理性分析板书： ysin2 x ysin(2x +1) 纵坐标不变横坐标变为原来的 倍1向左平移 个单位12点 M(x0，y 0) 点 N(x0 ，y
13、0)12小结：从中发现，横向变换只对 x 的变化而言，同理纵向变换仅对 y 的变化而言 ysin2x 的图象向左平移 个单位，得到的函数图象对应的解析式是 ysin2(x )，12 12而不是 ysin(2 x )12【设计意图】探讨 ysin(2 x1)的图象与 ysin2x 的图象的关系，仅作为平移变换的巩固，深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫. “为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力6整理小结，规划任务 小结：今天我们分别探讨了 、A、 对函数 ysin( x)、yAsinx( A0)、ysinx(0)的图象的变换规律，下面探讨什么呢？ 【设计意图】培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.布置作业：1阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达） ；2书第 39 页练习第 1 题，第 4 题
