1、天津南开中学 2018 届高三第五次月考数学（文史类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 2()iai的实部与虚部相等，其中 a为实数，则 ai ( )A 5 B 10 C 37 D 102 2.“lg,lxyz成等差数列”是“ 2yxz”成立的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.已知实数 ,xy满足,1.x则目标函数 2zxy的最大值为( )A-3 B 2 C5 D64.设 30.33.,log,l0.2abc，则 ,abc大小关系正确
2、的是( )A c B C. D cba5.执行下面的程序框图，如果输入的 ,1xy， n，则输出 ,xy的值满足( )A 2yx B 3yx C. 4yx D 5yx 6.已知抛物线 8的准线与双曲线216a相交于 ,AB两点，点 F为抛物线的焦点， ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A3 B2 C. 6 D 37.若关于 x的不等式 23xa至少有一个复数解，则实数 a的取值范围是( )A 13,4 B 13,4 C.3, D 13,48.已知函数 (),()2xxfg，若 ()fxg，则实数 x的取值范围是( )A 15, ,2 B 15, ,2 C. , D ,第卷（共 90
3、分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9.已知集合 1,2,nAaBb，若 1AB，则 B_.10.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是_.11.已知 0,lg28lg2xyxy，则 xy的最小值是_.12.已知圆 :(3)(5)C过圆心 C的直线 l交圆 于 ,AB两点，交 y轴于点 P，若 A恰为PB的中点，则直线 l的斜率为_.13.已知 A中， 10,16,BAD为边 的中点，则 D等于 14.函数 ()sin(cos)2fxx在区间 ,01aa上有且仅有一个零点，则实数 a的取值范围是 三、解答题 （本大
4、题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在 ABC中，内角 ,的对边分别为 ,abc，且 ，已知 2BAC, 1cos,3Bb.求：(1)a和 c的值；(2) os()的值.16.有编号为 1210,A 的 10 个零件，测量其直径（单位： cm） ，得到下面数据：编号 3A 4 5A 6 7A 8 9A 10 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47其中直径在区间 1.48,52内的零件为一等品.(1)从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随
5、机抽取 2 个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；(ii)求这个零件直径相等的概率.17. 如图 1，在直角梯形 ABCD中， /,ABD，且 12ACD.现以 A为一边向形外作正方形 EF，然后沿边 将正方形 EF翻折，使平面 EF与平面 B垂直， M为ED的中点，如图 2.(1)求证： /AM平面 BEC；(2)求证： 平面 D；(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.18. 已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 152,30aS；数列 nb的前 项和为 nT，且 21n.(1)求数列 ， b的通项公式；(2)设 (1)l)nnnc，求数列 nc的前 项和 2nW.19.已知椭圆
6、 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 1，短袖长为 43.(1)求椭圆 C的标准方程；(2)直线 2x与椭圆 交于 ,PQ两点， ,AB是椭圆 C上位于直线 PQ两侧的动点，且直线 AB的斜率为1.(i)求四边形 AB的面积的最大值；(ii)设直线 P的斜率为 1k，直线 PB的斜率为 2k，判断 12k的值是否为常数，并说明理由.20.设函数 321()(1)(fxxmxR，其中 0m.(1)当 m时，求曲线 yf在点 ,f处的切线的斜率；(2)求函数 ()fx的单调区间与极值；(3)已知函数 有三个互不相同的零点 120,x，且 12x，若对任意的 12,()1xfx恒成立，求 的取
7、值范围. 天津南开中学 2018 届高三第五次月考参考答案一、选择题1-5:CACBC 6-8:AAB 二、填空题9.1,2 10.86 11.234 12. 13.3 14. 15,8 三、解答题15.(1)由 2BAC得 cos2aB.又 1cos3，所以 6.由余弦定理，得 22cscb.又 b，所以 913a.解 26,13c得 2,c或 ,2ac.因为 a，所以 ,.(2)在 ABC中，221sin1cos3B.由正弦定理，得 4ii9b.因为 abc，所以 为锐角；因此2247os1in19C.于是 12423ccossin397BCB.16.(1)由所给数据可知，一等品零件共有
8、6 个.设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 6()105P.(2) (1)一等品零件的编号为 123456,A，从这 6 个一等品零件随机抽取 2 个，所有可能的结果有：12131415162324,AA, 252634,AA,356, A,共有 15 种.()“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等” （记为事件 B）的所有可能结果有：14162353546,AA,共有 6 种.所以 ()5PB.17.(1)取 EC中点 N，连接 ,MB.因为 N是 ECD的中位线，所以 /MNCD,且 12.由已知 AB,所以 /，且 AB.所以四边形 为平行四边形.所以
9、 /N.又因为 B平面 EC，且 M平面 EC，所以 /AM平面 .(2)在正方形 DF中， A.又因为平面 平面 B，且平面 DF平面 ABD，所以 E平面 C，所以 EC.在直角梯形 A中， 12A,可得 2.在 BD中， 2, .所以 2C.所以 .所以 B平面 E.(3)由(2)知， 平面 BD.又因为 C平面 ,所以平面 E平面 BC.过点 D作 的垂线交 于点 G，则 G平面 E.连接 ，则 为直线 DC与平面 所成角.在直角三角形 B中， 12BESBEDG，所以 63D,因此 sin6GC.18.(1)记等差数列 na的公差为 d，依题意，得 51()302S，结合 12a，解
10、得 d，所以数列 na的通项公式 2na；因为 nT，所以 12nT，两式相减，得 1nb.又因为 12满足上式，所以数列 n的通项公式 12n.(2) 由(1)可知 ab， ()nS，则 (1)l)1ln(1)nnc x，记数列 n的前 2项和为 2nA，数列 lnS的前 2项和为 2nB，则 312()()nA ， 2 131nn，以上两式相减，得 21232123()+-()()nnnA21()nn21263n所以 2129nnA；又 l1l3ln4l(2)ln1)Bl()ln(21)综上数列 nc的前 项和 212226ln(1)()9nnWAB19.(1)设椭圆 C的方程为 21(0
11、xyab，由已知 23b，离心率 ce， 22c，得 4a所以，椭圆 的方程为216xy.(2)()由(1)可求得点 ,PQ的坐标为 (2,3),),则 6PQ.设 12,AxyB，设直线 AB的方程为 1yxt，代入21xy得 20t.由 ，解得 4t，由根与系数的关系得 12,.xt四边形 APBQ的面积 212121263438Sxxxt故当 ma0,t.()由题意知，直线 PA的斜率 12ykx，直线 PB的斜率 23ykx，则 12123ykx1232xtxt121()()xtxt12ttx1122(4)tx，由(1)知 12,xt可得212(4)8110tttk所以 12的值为常数
12、 0.20.(1)当 m时，故 32()fxx，2，(1)f.所以曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线的斜率为 1.(2) 22fm，令 ()0x，解得 x或 .因为 ，所以 1.当 变化时， (),f的变化情况如下表：xm1,m 1 ,m()fx- 0 + 0 -极小值 极大值所以 ()fx在 ,1m， ,内是减函数，在 1,m内是增函数.函数 在 处取得极小值 (1)f，且 321()f，函数 ()fx在 处取得极大值 ，且 .(3)由题设， 2213fxm12()3x，所以方程 0有两个相异的实根 12,x，故 123x，且 241()03m，解得 12（舍）或 12m，因为 2x，所以 213x，若 1，则 2()(0fx，而 ()0fx，不合题意.若 12，对任意的 12,x，有 12,0xx，则1()03fx.又 10，所以 ()fx在 12,上的最小值为 0.于是对任意的 12,， ()f恒成立的充要条件是 21()03fm，解得 3m.综上， 的取值范围是 13,2.
