1、2018届云南民族大学附属中学高三下学期第二次月考数学（理）试题（word 版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 复数 z 满足 ，则复数 z 的实部与虚部之和为A. B. C. 1 D. 02. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. B. C. D. 3. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“ 三局两胜” 制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D. 4. 若 ，且 ，则 的最小值是A. 5 B. C. D. 5. 荐函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 a 的
2、取值范围是A. B. C. D. 6. 已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是A. B. C. D. 7. 设 分别是椭圆 E： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 E 于 两点，若 ，则椭圆 E 的离心率为A. B. C. D. 8. 已知函数 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 上单调，则 的最大值为A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 9. 给出如下四个命题：若“ p 且 q”为假命题，则 p、q 均为假命题；命题“ 若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；“”的否定是“ ”；在 中，“”是“ ”的充要条件其中正确的命题的个数是A. 1 B. 2
3、 C. 3 D. 410. 已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若，则 的大小关系是A. B. C. D. 11. 已知函数 定义域是 ，则 的定义域是A. B. C. D. 12. 函数 的一个单调递增区间是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 _14. 曲线 在点 处的切线方程为_ 15. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_16. 已知直线 l： 与圆 交于 两点，过 分别作 l 的垂线与 x轴交于 两点，若 ，则 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）17. 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为
4、 求 ；若 ，求 的周长18. 如图，四棱锥 中， 底面为线段 AD 上一点， 为 PC 的中点证 明： 平面 PAB；求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值19. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 分别交 C 于 两点，交 C 的准线于 两点若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ；若 的面积是 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程20. 已知数列 的前 n 项和 是等差数列，且 求数列 的通项公式；令 ，求数列 的前 n 项和 21. 已知函数 有两个零点求 a 的取值范围；设 是 的两个零点，证明： 四 选做题（10 分）22. 已知函数 在
5、图中画出 的图象；求不等式 的解集23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 写出 的普通方程和 的直角坐标方程；设点 P 在 上，点 Q 在 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标1. D 2. A 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D8. B 9. C 10. B 11. A 12. A13. 14. 15. 16. 4 17. 解： 由三角形的面积公式可得 ，由正弦定理可得 ，；，周长 18. 证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 ，为 PC 的中点，且 ，又 ，且 ，且
6、，则 ，且 ，四边形 AMNG 为平行四边形，则 ，平面 平面 PAB，平面 PAB；法二、在 中，过 N 作 ，垂足为 E，连接 ME，在 中，由已知 ，得 ，则 ，在 中，由余弦定理得： ，而在 中， ，即 ，则 平面 PAB由 底面 ABCD，得 ，又 ，则 平面 PAB，平面 平面 PAB，则 平面 PAB；解：在 中，由 ，得，则 ，底面 平面 PAD，平面 平面 PAD，且平面 平面 ，平面 PAD，则平面 平面 PAD在平面 PAD 内，过 A 作 ，交 PM 于 F，连接 NF，则 为直线 AN 与平面 PMN 所成角在 中，由 N 是 PC 的中点，得 ，在 中，由 ，得 ，
7、直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 19. 证明：连接 ，由 及 ，得 ，是 PQ 的中点， ，设 ，准线为 ，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，的面积是 的面积的两倍，即 设 AB 中点为 ，由 得 ，又 ，即 中点轨迹方程为 20. 解： ，时， ，时， ；，； ，可得， 21. 解： 函数 ，若 ，那么，函数 只有唯一的零点 2，不合题意；若 ，那么恒成立，当 时， ，此时函数为减函数；当 时， ，此时函数为增函数；此时当 时，函数 取极小值 ，由 ，可得：函数 在 存在一个零点；当 时， ，令 的两根为 ，且 ，则当 ，或 时， ，故函数 在 存在一个零点；即函数 在 R
8、是存在两个零点，满足题意；若 ，则，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，当 时， ，即 恒成立，故 单调递减，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，故当 时，函数取极大值，由 得：函数 在 R 上至多存在一个零点，不合题意；若 ，则，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，故函数 在 R 上单调递增，函数 在 R 上至多存在一个零点，不合题意；若 ，则，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，当 时， ，即 恒成立，故 单调递减，当 时， ，即 恒成立，故 单调递增，故当 时，函数取极大值，由 得：函数 在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的
9、取值范围为 证明： 是 的两个零点，且 ，且 ，令 ，则 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；设 ，则 ，设 ，则 恒成立，即 在 上为增函数，恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，即 22. 解： ，由分段函数的图象画法，可得 的图象，如右：由 ，可得当 时， ，解得 或 ，即有；当 时， ，解得 或 ，即有 或 ；当 时， ，解得 或 ，即有 或 综上可得， 或 或 则 的解集为 23. 解： 曲线 的参数方程为 为参数，移项后两边平方可得 ，即有椭圆 ： ；曲线 的极坐标方程为 ，即有 ，由 ，可得 ，即有 的直角坐标方程为直线 ；由题意可得当直线 的平行线与椭圆相切时，取得最值设与直线 平行的直线方程为 ，联立 可得 ，由直线与椭圆相切，可得 ，解得 ，显然 时， 取得最小值，即有 ，此时 ，解得 ，即为 另解：设 ，由 P 到直线的距离为 ，当 时， 的最小值为 ，此时可取 ，即有
