1、,第九章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解: 将已知曲线用参数方程表示为,它
2、在点 P 的切向量为,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,2. 梯度的几何意义,称为函数 f 的等值线或等高线 .,则L*上点P 处的法向量为,举例,函数在
3、一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点 P 处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例4. 设函数,解: (1) 点P处切平面的法向量为,在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.,求等值面,(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,思考: f 在点P处沿什么
4、方向变化率为0 ?,注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多,3. 梯度的基本运算公式,例5.,证:,试证,三、物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电势场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,例6.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证: 利用例5的结果,这说明场强:,处所产生的电势为,垂直于等势面,且指向电势减少的方向.,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,方向: f 变化率最大的方向,模: f 的最大变化率之值, 梯度的特点,练习,P130 题 16,提示:,P107 2，3，6，7，8，9，10,作业,第八节,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(1992 考研),指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,其单位向量为,(1996考研),
