1、2-8 定积分,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 S .,1. 定积分的概念,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,(2)近似代替,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,(1) 分割,(3) 求和,(4) 取极限.,则曲边梯形面积,解 (1) 分割,变力做功,在 插入n个分点,设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可以表示为它到初始点的距离s的函数f(s).求物体自s=a到s=b外力所做的功W.,
2、将闭区间a,b分成n个小区间:,小区间的长度,(2)近似代替,在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为,(3) 求和,把各小区间上力f 所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即,(4)取极限,令所有小区间的最大长度 时,和式 的极限即为变力在区间 上对物体所做的功,即,定义,各小区间的度为：,并作,和式；,（称作积分和或黎曼和）.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积S等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分，即,如
3、果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数f(s)在a,b上的定积分，即,可以证明:闭区间上的连续函数或单调函数或只有有限个第一类间断点的函数,在该闭区间上可积.(证明略),可积函数一定有界,关于定积分的概念，应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了今后的使用方便，对于 时作如下规定：,如果在a,b上 ，此时 由曲线y=f(x)，直线x=
4、a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方，则定积分 在几何 上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,定积分的几何意义：,如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,例 利用定义计算定积分,解,将 0,1 n 等分, 分点坐标为,取,将闭区间0,1分成n个小区间:,各小区间的长度为：,注,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,性质 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即,定积分的性质,设下面函数 f (x) 及 g(x) 在 a,b 上可积.,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积 分的代数和，即,性质1,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则,性质5,性质5 表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.,性质4 被积函数的常数因子可以提到积分号外.,性质3,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,证: 当,时,因,在,上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,性质6,性质7,
