1、92 两条直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线 l1，l 2，其斜率分别为 k1，k 2，有 l1l 2_，特别地，当直线l1，l 2 的斜率都不存在时，l 1 与 l2 的关系为_(2)垂直：如果两条直线 l1，l 2 的斜率都存在，且分别为 k1，k 2，则有 l1l 2_，特别地，若直线l1：xa ，直线 l2：yb，则 l1 与 l2 的关系为_2两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0. )_，此解就是_；若方程组无解，则两条直线_，此时两条直线_3距离公式(
2、1)点到直线的距离：点 P0(x0，y 0)到直线 l：AxBy C0 的距离 d_(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线 l1：Ax ByC 10 与 l2：AxByC 20(C 1C 2)间的距离d_4过两直线交点的直线系方程若已知直线 l1：A 1xB 1yC 10 与 l2：A 2xB 2yC 20 相交，则方程 A1xB 1yC 1(A 2xB 2yC 2)0(其中 R，这条直线可以是 l1，但不能是 l2)表示过 l1 和 l2 交点的直线系方程自查自纠1(1)k 1k 2 l 1l 2 (2)k 1k2 1 l 1l 22相交 交点的坐标 无公共点 平行3(1) (2)|Ax0
3、 By0 C|A2 B2 |C1 C2|A2 B2过点 A(2，3)且垂直于直线 2xy50 的直线方程为( )Ax2y40 B2xy70Cx 2y30 Dx2y 50解：由题意可设所求直线方程为：x2ym 0，将 A(2，3)代入上式得 223m0，即 m4，所以所求直线方程为 x2y40.故选 A.对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是( )A(2，3) B(3，2) C(2，3) D(3，2)解：直线 yax3a2 变为 a(x3)(2y) 0.又 aR，所以 解得 得定点为(3 ，2)故选x 3 0，2 y 0，) x 3，y 2)B.已知直线 l1：mxy 20，l 2：
4、6x(2m 1)y60，若 l1l 2，则实数 m 的值是( )A B2 C 或 2 D. 或232 32 32解：当 m0 时，直线 l1：y20，l 2：6xy60，则 l1 与 l2 不平行，同理 m 时不平行；当 m0 且12时，由 l1l 2，得 ，解得 m ，故选 A.12 m6 12m 1 2 6 32已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy 0 和 xay 0 上，且线段 AB 的中点为 P ，则线(0，10a)段 AB 的长为 _解：依题意，a2，P(0，5)，设 A(x，2x)，B(2y，y)，故 解得 所以 A(4，8)，B( 4，2)，x 2y2 0，2x y
5、2 5，) x 4，y 2，)所以|AB | 10.故填 10.（4 4）2 （8 2）2已知点 A(3， 2)和 B(1，4)到直线 axy10 的距离相等，则 a 的值为_解：由平面几何知识得 AB 平行于直线 axy 10 或 AB 中点(1 ，3)在直线 axy10 上，k AB ，所12以 a 或4.故填 或4.12 12类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线 l1：ax ya20，l 2：ax ( a22)y 10，当 a 为何值时，l 1 与 l2：(1)相交；(2) 平行；(3) 重合解：首先由 a(a22)(1)a，得：a0 或 a1 或 a1.所以当 a0 且 a1
6、且 a1 时两直线相交当 a0 时，代入计算知 l1 l2，当 a1 时，代入计算知 l1 与 l2 重合，当 a1 时，代入计算知 l1 l2.因此，(1)当 a1 且 a0 且 a1 时，l 1 与 l2 相交；(2)当 a0 或 a1 时，l 1 与 l2 平行；(3)当 a1 时，l 1 与 l2 重合【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用结论：若 ，则直线A1A2 B1B2C1C2A1xB 1yC 10 与 A2xB 2yC 20 平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零当实数 m 为何值时，三条直线 l1：3xmy10，l 2：3x2y50，l 3：6
7、xy50 不能围成三角形解：当 m0 时，直线 l1，l 2，l 3 可以围成三角形，要使直线 l1，l 2，l 3 不能围成三角形，则 m0.记 l1，l 2，l 3 三条直线的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则 k1 ，k 2 ，k 36.3m 32若 l1l 2，或 l1l 3，则 k1k 2 ，或 k1k 36，解得 m2 或 m ；32 12若三条直线交于一点，由 得 l2 与 l3 交于点(1，1)，将点(1 ，1)代入3x 2y 5 0，6x y 5 0) x 1，y 1，)3xmy10，得 m2.所以当 m2 或 时，l 1，l 2，l 3 不能围成三角形12类型二 两条直线
8、垂直(1)已知两条直线 l1：axby 40 和 l2：(a1) xyb0，若 l1l 2，且 l1 过点(3，1) ，求a，b 的值；(2)已知两直线 l1：x y sin 10 和 l2：2xsin y10，若 l1l 2，求 的值解：(1)解法一：由已知可得 l2 的斜率 k2 存在，且 k21 a.若 k20，则 1a0，a1.因为 l1l2，所以直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又因为 l1 过点(3，1)，所以 3a40，得 a (矛盾 )43所以此种情况不存在，所以 k20，所以 k1，k 2 都存在因为 k21a，k 1 ，l 1l2，ab所以 k1k21，即 (1
9、a)1.ab又因为 l1 过点(3，1)，所以 3ab40.联立可得 a2，b2.解法二：因为 l1l2，所以 a(a1) (b)10，即 ba 2a.又因为 l1 过点(3，1)，所以3ab40.联立可得 经验证，符合题意a 2，b 2.)故 a2，b2.(2)因为 A1A2B 1B20 是 l1l2 的充要条件，所以 2sinsin 0，即 sin0， k，k Z.所以当 k，k Z 时，l 1l2.【点拨】判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k21，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两直线也垂直(2)直接用以下
10、方法，可避免对斜率是否存在进行讨论设直线l1：A 1x B1y C10，l 2：A 2xB 2yC 20，l 1l2A 1A2B 1B20.已知定点 A(1，3)，B(4，2)，以 A、B 为直径的端点作圆与 x 轴有交点 C，求交点 C 的坐标解：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴交点为 C，则 ACC B.据题设条件可知 AC，BC 的斜率均存在设 C(x，0)，则 kAC ，k BC ，所以 1，去分母解得 x1 或 2.故 C(1，0)或 C(2，0) 3x 1 2x 4 3x 1 2x 4类型三 对称问题已 知 直 线 l： 2x 3y 1 0， 点 A( 1， 2)求：(1)点 A
11、 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y 60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解：(1)设 A(x，y )，则有y 2x 123 1，2x 12 3y 22 1 0，)解得 所以 A .x 3313，y 413，) ( 3313，413)(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上设对称点为 M(a，b)，则2(a 22 ) 3(b 02 ) 1 0，b 0a 223 1， )解得 M .(613，3013)设 m 与 l 的交点为 N，则由 得 N(4，3)2x
12、 3y 1 0，3x 2y 6 0，)又因为 m经过点 N(4，3)，所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.(3)解法一：在 l：2x 3y 1 0 上任取两点，如 P(1，1)，N(4，3)则 P，N 关于点 A 的对称点 P，N 均在直线 l上易知 P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90.解法二：设 Q(x，y )为 l上任意一点，则 Q(x， y)关于点 A(1，2)的对称点为Q(2 x，4y)，因为 Q在直线 l 上，所以 2(2x )3(4y)10，即 2x3y90.【点拨】(1)关于中心对称问题的处理方法：若点 M(x1，y 1)及 N(x
13、，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x 2a x1，y 2b y1.)求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点 P1(x1，y 1)与 P2(x2，y 2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2 的中点在l 上，且连接 P1P2 的直线垂直于 l，由方程组可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x 2，y 2)(其中 B0，x
14、1x2)A(x1 x22 ) B(y1 y22 ) C 0，y2 y1x2 x1( AB) 1， )直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行如图，已知 A(4，0)、B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是 _解：由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4，2)，关于 y 轴的对称点为 C(2，0)，则光线所经过的路程的长为| CD|2 .故填 2 .10 10类型四 距离问题(1)已知直线 3x4
15、y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是( )A. B. C8 D21710 175解：因为 ，所以 m8，直线 6x8y140 可化为 3x4y 70，两平行线之间的距离 d63 m4 14 32.故选 D.| 3 7|32 42(2)过点 P(1，2)引直线，使 A(2，3) 、B(4，5)到它的距离相等，求这条直线的方程解法一：因为 kAB4，线段 AB 中点 C(3，1) ，所以过 P(1，2)与直线 AB 平行的直线方程为 y24( x1) ，即 4xy60.此直线符合题意过 P(1，2) 与线段 AB 中点 C(3，1) 的直线方程为 y2 (x1)，即 3x2y7
16、0.此直线也是所求32故所求直线方程为 4xy 60 或 3x2y70.解法二：显然这条直线斜率存在设直线方程为 ykxb，据条件有 .2 k b，|2k 3 b|k2 1 |4k 5 b|k2 1 )化简得 或k b 2，k 4) k b 2，3k b 1 0.)所以 k4，b6 或 k ，b .32 72所以直线方程为 y4x 6 或 y x .32 72即 4xy60 或 3x2y70.【点拨】距离的求法：(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距
17、离；利用两平行线间的距离公式 d .|C1 C2|A2 B2若动点 A、B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为_解：依题意知 AB 的中点 M 所在直线方程为 xy60，根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 3 .故填 3 .| 6|2 2 2类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 22m3) x(1mm 2)y3m 2 10(其中 mR )恒过定点，并求出定点坐标证法一：令 m0，则直线方程为 3xy10，再令 m1 时，直线方程为 6xy40，联立，得方程组 解得3x y 1 0，6x y 4 0，) x
18、1，y 2. )将点 A(1，2)代入动直线(m 22m 3)x(1 m m 2)y3m 210 中，(m22m 3) (1)(1m m2)23m 21(312) m2( 22)m 2130，故点 A(1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线 (m22m3) x(1mm 2)y3m 210 恒过定点 A.证法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理得，m2(xy3) m(2 xy)3x y10，不论 m 为何实数，式恒为零，所以有 解得x y 3 0，2x y 0，3x y 1 0，) x 1，y 2. )故动直线恒过点(1，2)【点拨】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给 m 两个特殊
19、值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但 m 只是取两个特殊值，是否 mR 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按 m 的降幂排列，由于 mR 恒成立，所以得关于 x，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合常见直线系方程有：(1)过定点( x1，y 1)的直线系：yy 1k(xx 1)和 xx 1.(2)平行于直线 AxByC 0 的直线系：AxBy0( C )(3)垂直于直线Ax ByC 0 的直线系：BxAy 0.(4)过 A1xB 1yC 10 与 A2xB 2yC 20 的交点的直线系：A1x B1yC 1(A 2xB
20、 2yC 2)0( 不包括直线 A2xB 2yC 20)已知直线 l：(2ab)x(ab) yab0 及点 P(3，4)(1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程解：(1)证明：直线 l 的方程可化为a(2xy1) b (xy1)0，由 得2x y 1 0，x y 1 0，) x 2，y 3，)所以直线 l 恒过定点(2，3)(2)由(1)知直线 l 恒过定点 A(2，3) ，当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大又直线 PA 的斜率 kPA ，4 33 2 15所以直线 l 的斜率 kl5.故直线 l
21、 的方程为 y35(x 2) ，即 5xy70.1当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件2两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论但也可以这样避免：设两直线为 A1xB 1y C10 和 A2xB 2yC 20，则两直线垂直的条件为 1，由此得 A1A2B 1B20，但后者适用性更强，因为当 B10 或 B20 时前者不适用但后(A1B1) ( A2B2)者适用3运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线 AxByC0 平行
22、的直线系方程是 AxBym0(m R 且 mC)；(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(m R)；(3)过直线 l1：A 1xB 1yC 10 与 l2：A 2xB 2yC 20 的交点的直线系方程为A1xB 1yC 1(A 2xB 2y C2)0( R )，但不包括 l2.4运用公式 d 求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中 x，y 的系数化成相等的系数，|C1 C2|A2 B2求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点) ，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离这一方法体现了化归思想的应用5对称主要分
23、为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决1点(1，1)到直线 xy 10 的距离是( )A. B. C. D.12 32 22 322解：d .故选 D.|1 1 1|2 3222过点(1，0)且与直线 x2 y20 平行的直线方程是( )Ax2y10 Bx 2y10C2x y20 Dx 2y10解：设所求直线方程为 x2yc 0，将( 1，0)代入得 c1.所以所求直线方程为 x2y10.故选 A.3已知直线 l1：x ay20，l 2：x ay10，则“a1”是“l 1l 2”的( )
24、A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由 l1l2，得 11a(a) 0，解得 a1 或 a1，则“a1”是“l 1l2”的充分不必要条件，故选 A.4(2015武汉调研)直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是( )Ax2y10 B2x y10C2x y30 Dx 2y30解：设直线 x2y 10 关于直线 x1 对称的直线为 l2，则 l2 的斜率为 ，且过直线 x2y10 与 x112的交点(1 ，1) ，则 l2 的方程为 y1 (x1) ，即 x2y 30.故选 D.125若直线 l：y kx 与直线 2x3y 60 的交点位于第一象限，则直线
25、 l 的倾斜角的取值范围是( )3A. B. 6， 3) ( 6， 2)C. D.( 3， 2) ( 6， 2解：如图，直线 l：y kx ，过定点 P(0， )，又 A(3，0)，所以 kPA ，则直线 PA 的倾斜角为 ，满3 333 6足条件的直线 l 的倾斜角的范围是 .故选 B.(6，2)6(2015洛阳统考)已知点 P(x0，y 0)是直线 l：AxByC0 外一点，则方程 AxByC ( Ax0By 0C)0 表示( )A过点 P 且与 l 垂直的直线B过点 P 且与 l 平行的直线C不过点 P 且与 l 垂直的直线D不过点 P 且与 l 平行的直线解：因为点 P(x0，y 0)
26、不在直线 AxByC 0 上，所以 Ax0By 0C0，所以直线AxByC (Ax 0By 0C )0 不经过点 P.又直线 AxByC(Ax 0By 0C)0 与直线 l：AxByC0平行故选 D.7点 P 为 x 轴上的一点， A(1，1)，B(3 ，4)，则|PA| |PB| 的最小值是_解：点 A(1，1)关于 x 轴的对称点 A(1，1) ，则| PA|PB|的最小值是线段 AB 的长为 .故填 .29 298若 O(0，0)，A (4，1)两点到直线 axa 2y60 的距离相等，则实数 a_解：由题意，得 ，即 4aa 266，解得 a0 或2 或 4 或 6.检验得 a0 不合
27、题意，6a2 a4 |4a a2 6|a2 a4所以 a2 或 4 或 6.故填2 或 4 或 6.9已知两直线 l1：x ysin 10 和 l2：2xsin y10，试求 的值，使得：(1)l1l 2；(2)l1l 2.解：(1)由 sin ，得 sin .12sin 11 22由 sin ，得 k (kZ)22 4所以当 k (kZ)时，l 1l 2.4(2)由 2sinsin 0，得 sin0， k(kZ )，所以当 k(k Z)时，l 1l2.10已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点(1)点 A(5，0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5，0
28、)到 l 的距离的最大值解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2 xy5) ( x2y)0，即(2 )x(12 )y50，所以 3.|10 5 5|（2 ）2 （1 2）2解得 2 或 .12所以 l 的方程为 x2 或 4x3y50.(2)由 解得交点 P(2，1) ，2x y 5 0，x 2y 0，)如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d|PA|(当 lPA 时等号成立)所以 dmax|PA| .1011在ABC 中，BC 边上的高所在直线 l1 的方程为 x2y 10，A 的平分线所在的直线 l2 的方程为y0，若点 B 的坐标为(1，2) ，求点
29、A、C 的坐标解：如图，设 C(x0，y 0)，由题意知 l1l2A ，则x 2y 1 0，y 0 ) x 1，y 0. )即 A(1，0) 又因为 l1BC，所以 kBCkl11.所以 kBC 2. 1kl1 112所以由点斜式可得 BC 的直线方程为 y22( x1) ，即 2xy40.又因为 l2：y 0(x 轴)是A 的平分线，所以 B 关于 l2 的对称点 B在直线 AC 上，易得 B点的坐标为 (1，2)，由两点式可得直线 AC 的方程为xy10.由 C(x0，y 0)在直线 AC 和 BC 上，可得 即 C(5，6) x0 y0 1 0，2x0 y0 4 0) x0 5，y0 6.)已知直线 l1：x a 2y10 和直线 l2：(a 21)xby30(a，bR)(1)若 l1l 2，求 b 的取值范围；(2)若 l1l 2，求 |ab|的最小值解：(1)因为 l1l 2，所以b( a21)a 20，且 a213.则 ba 2(a21)a 4a 2 ，(a2 12)2 14因为 a20，所以 b0.又因为 a213，所以 b6.故 b 的取值范围是(， 6)(6，0 (2)因为 l1l2，所以(a 21)a 2b0，又若 a0，不满足 l1l2，则 a0，所以 aba ，|ab| 2，当且仅当 a1 时等号成立，因此|ab| 的最小值为 2.1a |a 1a|
