1、关于复数应用于特种数列例 1：已知数列 的首项 ，且满足 ，求 的通项.na122n1ana解析：记： ，其中 、 分别代表复数 的实部和虚部.zAiBnzA 在欧拉公式中： ， ，故： izeizcosieicosizie2cosB 由于 与二倍角的余弦公式相似，于是采用复数的三角变换.2n1a令： ，则： ，nniziecosnazcos1n1azcos代入 得：2n1a2n1z2cos()故： ， （ ） zkZ（这里直接用 ，因为若用 ，后边证明 是偶数） 2kC 当 时， ，即：n111iziea211izie4即： 11iziz2e40()()方程的解为： 12iz43D 当 时，
2、 ，即n221a722iziea7即： 22izize40()()方程的解为： 22iz 21473()由可见： ，即： ，可与式印证.211iiizee()()21zE 当 时， ，即n3a9733iiea97即： 33iziz2e194e0()()方程的解为： 32iz 419475632()由可见： ，即： ，可与式印证.322iziizee()()32zF 当 时， ，即n4a18744iizea187即： 44iziz2e376e0()()方程的解为： 42iz 8376418706432()由可见： ，即： ，可与式印证.334iizi2ee()()3zG 由此类推，得到通解：即： n1niz2e3()即： nnnniiABiABneiA(cos)与式比较得： ，0si 1n 230上面二式得到： ， ，n1cos故： 1nnizB2e3()H 式得到的是方程的两个特解，其通解是特解的线性组合.故通解为： nnn1n1izi22eaC3D32()()式中， 是两个常数，由赋值法可确定.CD,当 时， ，代入式得：n1a2323()()当 时， ，代入式得：27CD7解得： ，代入式得：CD.n1n122n1a33()()
