1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 30 直 接 证 明 与 间 接 证 明一 、 选 择 题1.（ 2014山 东 高 考 理 科 4）用 反 证 法 证 明 命 题 ： “已 知 为 实 数 ， 则 方 程 至 少 有 一 个 实 根 ”时 ， 要,ab20xab做 的 假 设 是 （ ）A、 方 程 没 有 实 根 .20xabB、 方 程 至 多 有 一 个 实 根 .C、 方 程 至 多 有 两 个 实 根 .2xD、 方
2、程 恰 好 有 两 个 实 根 .0ab【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 了 反 证 法 ， 从 问 题 的 反 面 出 发 进 行 假 设 .一 元 二 次 方 程 根 的 个 数为 0,1,2.因 此 至 少 有 一 个 实 根 包 含 1 根 或 两 根 ， 它 的 反 面 为 0 根 .【 解 析 】 选 A.“已 知 为 实 数 ， 则 方 程 至 少 有 一 个 实 根 ”的 反 面 是 “方, 2xab程 没 有 实 根 .”故 选 A.2bax2.（ 2014山 东 高 考 文 科 4） 与 （ 2014山 东 高 考 理 科 4） 相 同用 反 证 法 证 明 命 题
3、： “已 知 为 实 数 ， 则 方 程 至 少 有 一 个 实 根 ”时 ， 要,ab20xab做 的 假 设 是 （ ）A、 方 程 没 有 实 根 .20xabB、 方 程 至 多 有 一 个 实 根 .C、 方 程 至 多 有 两 个 实 根 .2xD、 方 程 恰 好 有 两 个 实 根 .0ab【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 了 反 证 法 ， 从 问 题 的 反 面 出 发 进 行 假 设 .一 元 二 次 方 程 根 的 个 数为 0,1,2.因 此 至 少 有 一 个 实 根 包 含 1 根 或 两 根 ， 它 的 反 面 为 0 根 .【 解 析 】 选 A.“已
4、知 为 实 数 ， 则 方 程 至 少 有 一 个 实 根 ”的 反 面 是 “方, 2xab程 没 有 实 根 .”故 选 A.02bax二 、 解 答 题3.（ 2013北 京 高 考 理 科 20） 已 知 an是 由 非 负 整 数 组 成 的 无 穷 数 列 ，该 数 列 前 n 项 的 最 大 值 记 为 An， 第 n 项 之 后 各 项 ， 的 最 小 值 记 为1n2aBn， dn=An Bn(1)若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3， 是 一 个 周 期 为 4 的 数 列 (即 对 任意 n N*， )， 写 出 d1， d2， d3， d4 的 值
5、；4n(2)设 d 为 非 负 整 数 ， 证 明 ： dn= d(n=1,2,3)的 充 分 必 要 条 件 为 an为公 差 为 d 的 等 差 数 列 ；(3)证 明 ： 若 a1=2， dn=1(n=1,2,3)， 则 an的 项 只 能 是 1 或 2， 且 有 无 穷多 项 为 1【 解 题 指 南 】 (1)根 据 dn的 定 义 求 .(2)充 分 性 :先 证 明 an是 不 减 数 列 ,再 利 用 定 义 求 dn;必 要 性 :先 证 明 an是 不 减 数 列 ,再 利 用 定 义 证 明 等 差 .(3)可 通 过 取 特 殊 值 和 反 证 法 进 行 证 明 .
6、【 解 析 】 （ 1） ， ，121dAB221dAB， 。334dAB443（ 2） 充 分 性 ：若 为 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 则 .nad1()nad因 为 是 非 负 整 数 ， 所 以 是 常 数 列 或 递 增 数 列 .dn， ，1()nAn所 以 1B(n=1,2,3,).d所 以必 要 性 ：若 ， 假 设 是 第 一 个 使 得 的 项 ， 则(1,23)nd ka10na， ，12kkaa 1,kkAB所 以， 这 与 矛 盾 .110kAB所 以 nd所 以 是 不 减 数 列 .n， 即 ，1nndad所 以 1na是 公 差 为 的 等 差 数 列
7、.na所 以（ 3） 首 先 中 的 项 不 能 是 0， 否 则 ， 与 已 知 矛 盾 .n 102da 中 的 项 不 能 超 过 2， 用 反 证 法 证 明 如 下 ：n若 中 有 超 过 2 的 项 ， 设 是 第 一 个 大 于 2 的 项 ，aka中 一 定 存 在 项 为 1， 否 则 与 矛 盾 .n 1nd当 时 ， ， 否 则 与 矛 盾 .knk因 此 存 在 最 大 的 i 在 2 到 k-1 之 间 ， 使 得 ，1ia此 时 ， 矛 盾 .0iiiidAB综 上 中 没 有 超 过 2 的 项 .na综 合 ， 中 的 项 只 能 是 1 或 2.n下 面 证
8、明 1 有 无 数 个 ， 用 反 证 法 证 明 如 下 ：若 为 最 后 一 个 1， 则 ， 矛 盾 .ka 0kkdAB因 此 1 有 无 数 个 . 4.（ 2013北 京 高 考 文 科 20） 给 定 数 列 a1， a2， ， an。 对i=1， 2， n-l， 该 数 列 前 i 项 的 最 大 值 记 为 Ai， 后 n-i 项ai+1， ai+2， ， an的 最 小 值 记 为 Bi， di=Ai-Bi.（ 1） 设 数 列 an为 3， 4， 7， 1， 写 出 d1， d2， d3的 值 .（ 2） 设 a1， a2， ， an（ n 4） 是 公 比 大 于 1
9、的 等 比 数 列 ， 且 a1 0.证 明 ：d1， d2， dn-1是 等 比 数 列 。（ 3） 设 d1， d2， dn-1是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 ， 且 d1 0， 证 明 ：a1， a2， ， an-1是 等 差 数 列 。【 解 题 指 南 】 (1)利 用 di的 公 式 ,求 d1,d2,d3的 值 .(2)先 求 出 dn的 通 项 ,再 利 用 等 比 数 列 的 定 义 证 明 dn是 等 比 数 列 .(3)先 证 明 an是 单 调 递 增 数 列 ,再 证 明 an是 数 列 an的 最 小 项 ,最 后 证 明an是 等 差 数 列 .【 解
10、 析 】 （ 1） ， ， 。132dAB2413dAB3=7-16dAB（ 2） 由 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 ， 且 a1 0， 可 得 的 通2,(4)na na项 为 且 为 单 调 递 增 数 列 。1naq于 是 当 时 ， 为 定 值 。2,3k1121kkkkdaqqa因 此 d1， d2， dn-1构 成 首 项 ， 公 比 的 等 比 数 列 。12（ 3） 若 d1,d2,dn-1是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列 ,则 00 矛 盾 .因 而 k 2,此 时 考 虑 dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak0,矛 盾 .因 此 ,an为 数 列 an中 的 最 小 项 .综 上 ,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,n-1),于 是 ak=dk+an,从 而 a1,a2,an-1是 等 差 数 列 .关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
