1、高三数学限时训练（88） （时间：30 分钟）1 已知 O，A ，B 是平面上不共线三点，设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意一点，若， ，则 的值为 75()PAOB2已知 F1，F 2 是椭圆左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点 P，使|PF 1|是 P 到直线 l 的距离的 2 倍，则椭圆离心率的取值范围是 3直线 与圆 相交于 A，B 两点（其中 a， b 是实数） ，且AOBaxby21xy是直角三角形（O 是坐标原点） ，则点 P（a ， b）与点（0，1）之间距离的最大值为 4已知函数 R , ，若关于 的方程(fx)lngxx2gfxe为自然对数的底数)只有一个实数根，则
2、= (e a5设 ，若 时均有 成立，则 kR0x2(1)()10kxkxk6设函数 在 处取得极值 321()0fabc（1）设点 ，求证：过点 A 的切线有且只有一条；并求出该切线方程；,)A（2）若过点 （0，0）可作曲线 的三条切线，求 a 的取值范围；O()yfx（3）设曲线 在点（ ） ， 处的切线都过点（0，0） ，(yfx1,2,)f12()x证明： 12)1 已知 O，A ，B 是平面上不共线三点，设 P 为线段 AB 垂直平分线上任意一点，若， ，则 的值为 12 75()PAOB2已知 F1，F 2 是椭圆左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点 P，使|PF 1|是 P
3、到直线 l 的距离的 2 倍，则椭圆离心率的取值范围是 3直线 与圆 相交于 A，B 两点（其中 a， b 是实数） ，且AOBaxby21xy是直角三角形（O 是坐标原点） ，则点 P（a ， b）与点（0，1）之间距离的最大值为 4已知函数 R , ，若关于 的方程(afx)lngxx2gfxe为自然对数的底数)只有一个实数根，则 = (e a21e5设 ，若 时均有 成立，则 kR0x2(1)()0kxkxk126设函数 在 处取得极值 321()(0)fabc1（1）设点 ，求证：过点 A 的切线有且只有一条；并求出该切线方程；,)A（2）若过点 （0，0）可作曲线 的三条切线，求 a
4、 的取值范围；Oyfx（3）设曲线 在点（ ） ， 处的切线都过点（0，0） ，(yfx1,()2,()f12)x证明： 12)（1）证明：由 f（x）= x3+ax2+bx+c（a 0） ，得：f （x ）=x 2+2ax+b，由题意可得 f（0）=0，f（0）= 1，解得 b=0，c= 1 经检验，f（x）在 x=0 处取得极大值设切点为（x 0，y 0） ，则切线方程为即为把（a，f （a） ）代入方程可得 ，即 ，所以 x0=a即点 A 为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条所以切线方程为 ；（2）解：因为切线方程为 ，把（0，0）代入可得 ，因为有三条切线，故方程得 有三个不同的
5、实根设 （a0）g（ x）=2x+2ax ，令 g（x）=2x+2ax=0，可得 x=0 和 x=a当 x（，0）时，g （x）0，g（x）为增函数，当 x（0，a）时，g （x）0，g（x）为减函数，当 x（a，+）时，g （x）0，g（x）为增函数，所以，当 x=0 时函数 g（x）取得极大值为 g（0）=10当 x=a 时函数 g（x）取得极小值，极小值为 因为方程有三个根，故极小值小于零， ，所以 （3）证明：假设 ，则 ，所以（x 1x2） （ x1+x2）=2a （ x1x2）因为 x1x2，所以 x1+x2=2a由（2）可得 ，两式相减可得因为 x1x2，故 把 x1+x2=2a 代入上式可得， ，所以 ， 所以 又由 ，这与 矛盾所以假设不成立，即证得 本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数的零点与函数的极值点间的关系，训练了反证法，此题综合性较强，属于有一定难度的题目
