1、第 51 讲 空间距离及计算、展开与折叠问题1.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BDa，则三棱锥 DABC的体积为( )A. B.a26 a312C. a3 D. a3312 2122.若长方体的三个面的对角线长分别是 a，b，c，则长方体体对角线长为( )A. B.a2 b2 c212a2 b2 c2C. D.22 a2 b2 c2 32 a2 b2 c23.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点 O，点 P 到三个平面的距离比为123，PO2 ，则 P 到这三个平面的距离分别是( )14A1，2，3 B2，4，6C1，4，6 D3，6，94.平面 ， ，
2、两两互相垂直，且交于点 A，点 B 到 ， ， 的距离均为 1，则 A、B 两点之间的距离|AB|( )A1 B. 2C. D235.如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的各棱长都 2，E、F 分别是 AB、A 1C1 的中点，则EF 的长是_6.已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积 V_7.如图所示，长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABa，BCb，BB 1c，并且abc0.求沿着长方体的表面自 A 到 C1 的最短线路的长1.如图，现有一块边长为 2 的正方形铁皮，其中 E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿 ED、E
3、C 向上折起，使 A、B 重合于点 P，做成一个垃圾铲，则它的体积为( )A. B.33 32C1 D22.在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，沿 DE，DF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使 A，B，C 三点重合，重合后的点记为 P，那么在四面体 PDEF中 DF 与平面 PEF 所成的角的余弦值为_3.如图(甲) ，在直角梯形 ABED 中，ABDE ，AB BE ，ABCD，且BCCD ，AB 2，F、H、G 分别为 AC、AD、DE 的中点，现将 ACD 沿 CD 折起，使平面 ACD平面 CBED，如图( 乙) (1)求证：平面 FHG平面 ABE；(
4、2)记 BCx，V(x )表示三棱锥 BACE 的体积，求 V(x)的最大值第 51 讲巩固练习1D 2.C 3.B4C 解析：由题意构造如图所示的棱长为 1 的正方体，则|AB| .故选 C.12 12 12 35. 561267解析：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中 AC1 的长分别为： ，（a b） 2 c2 a2 b2 c2 2ab ，a2 （b c）2 a2 b2 c2 2bc ，（a c）2 b2 a2 b2 c2 2ac因为 abc0，所以 abacbc 0.故最短线路的长为 .a2 b2 c2 2bc提升能力1A 解析：所得的垃圾铲如图所示，取
5、 CD 的中点 O，连接 OE、OP，则 OE2，OC1，PCPD2，所以 OP ，又 PE1，22 12 3则OPE90， 所以 SOPE PEOP ，12 32所以 VPCDE SOPE OC SOPE OD13 13 SOPE CD .13 332.553解析：(1)证明：由图(甲)结合已知条件知四边形 CBED 为正方形如图(乙) 因为 F、H、G 分别为 AC、AD 、DE 的中点，所以 FHCD，HGAE.因为 CDBE ，所以 FHBE.因为 BE平面 ABE，FH平面 ABE，所以 FH平面 ABE，同理可得 HG平面 ABE，又因为 FHHGH，所以平面 FHG平面 ABE.(2)因为平面 ACD平面 CBED 且 ACCD，所以 AC平面 CBED，所以 V(x)V A BCE SBCE AC，13因为 BCx，所以 AC2x(0 时 V(x)0，43所以当 x 时 V(x)有最大值，V( x)maxV ( ) .43 43 1681
