1、第 2 课时 两直线的位置关系1(2018广东清远一模)已知直线 l1：ax2y10 与直线 l2：(3 a)xya0，若 l1l 2，则 a 的值为( )A1 B2C6 D1 或 2答案 C解析 直线 l1：ax 2y10 与直线 l2：(3a)xya0 的斜率都存在，且 l1l2，k 1k 2，即 3a，解得 a6.故选 C.a22(2018山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点 (0，2)与点(4 ，0)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( )Ax2y20 Bx2y0C2xy30 D2xy30答案 C解析 因为点(0，2)与点(4 ，0) 关于直线 l 对称，所以直线 l 的斜率为
2、2，且直线 l 过点(2 ，1)故选 C.3若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为( )A12 B2C0 D10答案 A解析 由 2m200，得 m10.由垂足(1，p) 在直线 mx4y 20 上，得 104p20.p2.又垂足(1，2)在直线 2x5yn0 上，则解得 n12.4若 l1：x(1m)y(m 2)0，l 2：mx2y60 平行，则实数 m 的值是( )Am1 或 m2 Bm 1Cm2 Dm 的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若 m 0，易知两直线不平行，若 m0，则有 m1 或 m2.1m 1 m2 m 26方法二：由 12
3、(1m)m，得 m2 或 m1.当 m2 时，l 1：xy40，l 2：2x2y60，平行当 m1 时，l 1：x2y10，l 2：x2y60，平行5对任意实数 a，直线 yax3a 2 所经过的定点是( )A(2，3) B(3，2)C(2，3) D(3 ， 2)答案 B解析 直线 yax3a 2 变为 a(x3)(2y) 0.又 aR， 解得 得定点为(3 ，2)x 3 0，2 y 0，) x 3，y 2，)6(2017保定模拟)分别过点 A(1，3)和点 B(2，4) 的直线 l1 和 l2 互相平行且有最大距离，则 l1 的方程是( )Axy40 Bxy40Cx1 Dy3答案 B解析 连
4、接 AB，当 l1 与 l2 分别与 AB 垂直时，l 1 与 l2 之间有最大距离且 d|AB|，此时 kAB1，kl 11，则 y3(x1)，即 xy40.7已知点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 ，则点 P 的坐标为( )2A(1，2) B(2，1)C(1，2)或(2，1) D(2 ， 1)或(1，2)答案 C解析 由已知可得 P(x，53x)，则点 P 到直线 xy10 的距离为 d ，则|4x 6|2，|x 5 3x 1|12 （ 1）2 2所以 4x62，所以 x1 或 x2，所以点 P 的坐标为(1，2) 或(2，1)8点 A(1，1)到直线 x
5、cosysin20 的距离的最大值是( )A2 B2 2C2 D42答案 C解析 由点到直线的距离公式，得 d 2 sin( )，又 R ，|cos sin 2|cos2 sin2 2 4dmax2 .29光线沿直线 y2x1 射到直线 yx 上，被 yx 反射后的光线所在的直线方程为( )Ay x1 By x12 12 12Cy x Dy x112 12 12答案 B解析 由 得 即直线过( 1，1)y 2x 1，y x， ) x 1，y 1，)又直线 y2x1 上一点(0， 1)关于直线 yx 对称的点(1，0)在所求直线上，所求直线方程为 ，即 y .y 0 1 0 x 1 1 1 x2
6、 1210若曲线 yx 4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为( )A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案 A解析 令 y4x 34，得 x 1，切点为(1，1) ，l 的斜率为 4.故 l 的方程为 y14(x1) ，即 4xy30.11(2017唐山一模)双曲线 x2y 24 左支上一点 P(a，b)到直线 yx 的距离为 ，则 ab( )2A2 B2C4 D4答案 B解析 利用点到直线的距离公式，得 ，即|a b|2，又 P(a，b)为双曲线左支上一点，故应在直线|a b|2 2yx 的上方区域，所以 ab0，x 01，点 P 的坐标为1x 1x
7、0(1，1)，此时点 P 到直线 yx2 的距离为 ，故选 B.22 213(2018云南师大附中适应性月考) 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 m：x2y30 垂直，则cos2_答案 35解析 直线 m：x2y30 的斜率是 ， lm，直线 l 的斜率是2，故12tan2， ，sin ，cos ， cos22cos 212( )21 .2 23 255 55 55 3514若函数 yax8 与 y xb 的图像关于直线 yx 对称，则 ab_12答案 2解析 直线 yax8 关于 yx 对称的直线方程为 xay8，所以 xay8 与 y xb 为同一直线，故得 所以 ab2.12 a 2，b
8、 4. )15已知点 M(a，b)在直线 3x4y15 上，则 的最小值为_a2 b2答案 3解析 M(a，b)在直线 3x 4y15 上， 3a4b15.而 的几何意义是原点到 M 点的距离|OM|，所a2 b2以( )min 3.a2 b21532 4216已知直线 l 过点 P(3，4)且与点 A(2，2) ，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_答案 2x3y180 或 2xy20解析 设所求直线方程为 y4k(x3) ，即 kxy4 3k0，由已知，得 .| 2k 2 4 3k|1 k2 |4k 2 4 3k|1 k2k 2 或 k .23所求直线 l 的方程为 2x3y180
9、或 2xy20.17在ABC 中，BC 边上的高所在直线 l1 的方程为 x2y10，A 的平分线所在的直线 l2 的方程为y0，若点 B 的坐标为(1，2)，求点 A，C 的坐标答案 A( 1， 0)，C(5，6)解析 如图，设 C(x0，y 0)，由题意知 l1l2A，则 x 2y 1 0，y 0 ) x 1，y 0. )即 A( 1，0) 又l 1BC，k BCkl11.kBC 2. 1kl1 112由点斜式可得 BC 的直线方程为 y22(x 1)，即 2xy40.又l 2：y0(x 轴)是A 的平分线，B 关于 l2 的对称点 B在直线 AC 上，易得 B点的坐标为(1，2) ，由两
10、点式可得直线 AC 的方程为xy10.由 C(x0，y 0)在直线 AC 和 BC 上，可得 即 C(5，6)x0 y0 1 0，2x0 y0 4 0) x0 5，y0 6.)18设一直线 l 经过点(1，1)，此直线被两平行直线 l1：x2y10 和 l2：x2y30 所截得线段的中点在直线 xy10 上，求直线 l 的方程答案 2x7y50解析 方法一：设直线 xy10 与 l1，l 2 的交点为 C(xC，y C)，D(x D，y D)，则 C(1，0)x 2y 1 0，x y 1 0) xC 1，yC 0，) D( ， )x 2y 3 0，x y 1 0) xD 53，yD 23，)
11、53 23则 C，D 的中点 M 为( ， )43 13又 l 过点(1，1)，由两点式得 l 的方程为 ，y 131 13x 43 1 43即 2x7y50 为所求方程方法二：与 l1，l 2 平行且与它们的距离相等的直线方程为 x2y 0，即 x2y20. 1 32由 得 M( ， )(以下同方法一)x 2y 2 0，x y 1 0，) 43 13方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为 x2y20，设所求方程为(xy1)(x2y2)0，(1，1) 在此直线上， 111(122)0， 3，代入所设得 2x7y50.方法四：设所求直线与两平行线 l1，l 2 的交点为 A(x1，y 1)，B
12、(x 2，y 2)，则(x 1x 2)2(y 1y 2)40.x1 2y1 1 0，x2 2y2 3 0)又 A，B 的中点在直线 xy10 上， 10.x1 x22 y1 y22解得 (以下同方法一)x1 x22 43，y1 y22 13.)1(2018河南郑州模拟题)曲线 f(x)x 3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1，则点 P 的坐标为( )A(1，3) B(1，3)C(1，3)或( 1，3) D(1 ， 3)答案 C解析 f(x)3x 21.设点 P 的坐标为(x 0，x 03x 03)由导数的几何意义知 3x0212.解得 x01.点 P 的坐标为(1，3) 或( 1，3
13、)，故选 C.2平行于直线 2xy10 且与圆 x2y 25 相切的直线的方程是( )A2xy50 或 2xy 50 B2xy 0 或 2xy 05 5C2xy50 或 2xy5 0 D2xy 0 或 2xy 05 5答案 A解析 设所求直线的方程为 2xyc0(c1)，则 ，所以 c5，故所求直线的方程为|c|22 12 52xy50 或 2xy50.3已知 m，n 为正数，且直线 2x(n1)y20 与直线 mxny30 互相平行，则 2mn 的最小值为( )A16 B12C9 D6答案 C解析 直线 2x(n1)y20 与直线 mxny30 互相平行，2nm(n1)，m2nmn，两边同时
14、除以 mn，可得 1.m，n 为正数， 2mn(2m n)( )5 52 9，当且仅当2m 1n 2m 1n 2nm 2mn 2nm2mn 时取等号故选 C.2nm 2mn讲评 l 1：A 1xB 1yC 10，l 2：A 2xB 2yC 20.则 l1l 2A 1B2A 2B10 且 A1C2A 2C10.4(2018江西赣州模拟)若动点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线 l1：xy70，l 2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点距离的最小值为( )A3 B22 3C3 D43 2答案 A解析 由题意知，点 M 所在直线与 l1，l 2 平行且与两直线距离相等设
15、该直线的方程为 xyc 0，则 ，解得 c6.点 M 在直线 xy60 上点 M 到原点的最小值就是原点到直线 xy60|c 7|2 |c 5|2的距离，即 d 3 .故选 A.| 6|2 25(2018河北名校联考)直线 ya 分别与直线 y3x3，曲线 y2xlnx 交于 A，B 两点，则|AB| 的最小值为( )A. B143C. D42105答案 A解析 作与直线 y3x3 平行的直线与曲线 y2xlnx 相切，易得切点为(1，2)所以当 a2 时，|AB|min .436若直线 1 通过点 M(cos，sin)，则( )xa ybAa 2b 21 Ba 2b 21C. 1 D. 11
16、a2 1b2 1a2 1b2答案 D解析 直线 1 通过点 M(cos，sin)，我们知道点 M 在单位圆上，此问题可转化为直线 1 和圆xa yb xa ybx2y 21 有公共点，圆心坐标为(0，0) ，由点到直线的距离公式有 1 1，故选 D.| 1|1a2 1b2 1a2 1b27(2018江苏南京、盐城第二次模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kxy20 与直线l2：xky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 xy40 的距离的最大值为_答案 3 2解析 由题意得，直线 l1：kx y20 斜率为 k，且经过点 A(0，2)，直线 l2：xky20 经过点 B(2，0)，且直线 l1l2，所以点 P 落在以 AB 为直径的圆 C 上，其中圆心坐标为 C(1，1)，半径为 r ，则圆心到直线2xy40 的距离为 d 2 ，所以点 P 到直线 xy40 的最大距离为 dr 2 3 .|1 1 4|2 2 2 2 28f(x) lnx 在点(1，f(1)处的切线与 g(x)x 2mx 在(1，g(1)处的切线互相垂直，则实数 m_答案 3解析 f(x) ，f(1) 1，g (x)2xm，g(1)2m ，由 1(2m)1 得 m3.1x
