1、1 一元一次方程解应用题的思路和解法一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面： 一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程； 二是对数量关系稍复杂的方程， 常常理不清楚基本量， 也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。 而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义， 它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。 由此， 解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。所以， 我认为
2、解题关键为： 先找出等量关系， 根据基本量设未知数 。 一般是问什么设什么， 但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：（ 1）行程问题；（ 2）工程问题；（ 3）溶液配比问题；（ 4）销售问题；（ 5）数字问题；（ 6）比例问题；（ 7）设中间变量的问题。2 不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系， 结合具体的问题， 根据等量关系列出方程。下面针对以上七项分别进行讲解。1 行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。等量关系为：路程 =速度时间；速度 =路程时间 ；
3、时间 =路程速度 。特殊情况是航行问题， 其是行程问题中的一种特殊情况， 其速度在不同的条件下会发生变化。顺水（风）速度 =静水（无风）速度 +水流速度（风速） ；逆水（风）速度 =静水（无风）速度水流速度（风速） 。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度 +水流速度（风速）静水（无风）速度。例 1：一列火车从甲地开往乙地，每小时行 90 千米，行到一半时耽误了 12 分钟， 当着列火车每小时加快 10 千米后， 恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？此题的等量关系是： 列车改变速度以后所用的总时间 =原计划的时间。则可设甲乙之间距离为 x 千米，那么
4、原计划的时间为（ x/90）小3 时。实际所用时间分三段，第一段用原速度 90 走了一半的路程所用时间 （x290 ） 小时， 第二段是耽误停留的 12 分钟 （转换成小时为 （ 12/60）小时） ，第三段为加速后走另一半路程所用的时间（x290+10 ）小时，所以可以列方程为：x90 =x290 +1260 +x290 + 10解得： x=360千米。例 2：甲骑车从 A地到 B地，乙骑车从 B地到 A地，两人都匀速前进。已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人相距 36千米，到中午 12 时，两人又相距 36 千米。求 AB两地路程。本题可以简化为： A、 B 两地两人匀速
5、相向而行， 2 小时候相距36 千米， 4 小时候后仍相距 36 千米， 求 A、 B 距离。而两人各自的速度是多少， 是不是相等这些均没有交代。 为了有助于我们找到等量关系，我们可以借助草图。甲从 A 出发去 B，乙从 B 出发去 A，相向而行， 2 小时后假设甲到 C，乙到 D，此时 CD之间的距离为 36 千米。又过了两小时后甲到D，乙到 C，此时 CD之间的距离仍是 36 千米。我们根本不知道甲乙的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。那么设 A、 B 之间的距离为 x 千米，那么 2 小时后，甲乙一共走的路程是（ x-36）千米，用时 2 小时，那么甲乙的速度和是：C
6、 D B 乙A 甲4 x - 3624 小时候后， 甲乙仍相距 36 千米， 此时他们共走的路程是 （ x+36）千米，用时 4 小时，那么甲乙的速度和是：x + 364所以可以列方程为：x - 362 =x + 364解得： x=108千米。例 3：某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为 3 米 / 秒。问往返共需多少时间？这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程， 相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程， 相当于从排头走到与排尾的人相遇。在第一个过程追及问题中，等量关系是： 此人行进
7、的路程 -队伍行进的路程 =队伍长度。 设此段此人行进的时间为 x，则：3x - 9060 x = 450解得 x=300s。在第二个过程相遇问题中，等量关系是： 此人行进的路程 +队伍5 行进的路程 =队伍长度。 设此段此人行进的时间为 y，则：3y + 9060 y = 450解得： y=100s。所以往返共用时间为 x+y=400s。例 4：一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需 6 小时，逆流航行需 8 小时，已知水流速度每小时 2 km。求甲、乙两地之间的距离。顺水速度 =静水速度 +水流速度；逆水速度 =静水速度水流速度。此题的等量关系是： 静水速度顺水速度水流速度逆水速度+水流
8、速度。设两地之间距离为 x 千米，则x6 - 2 =x8 + 2解得 x=96 千米。巩固练习：1、某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排头取东西后， 立即返回排尾， 速度为 3 米 / 秒。 问往返共需多少时间？2、一列火车从甲地开往乙地，每小时行 90 千米，行到一半时耽误了 12分钟， 当着列火车每小时加快 10千米后， 恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？3、 小明到外婆家去， 若每小时行 5 千米， 正好按预定时间到达，他走了全程的五分之一时，搭上了一辆每小时行 40 千米的汽车，因6 此比预定时间提前 1 小时 24 分钟到达，求小明与他外婆家的距离是多少
9、千米？4、 甲乙两人分别从相距 60 千米的 AB两地骑摩托车出发去某地，甲在乙后面，甲每小时骑 80 千米，乙每小时骑 45 千米，若甲比乙早30 分出发，问甲出发经过多长时间可以追上乙？5 、某飞机原定以每小时 495 千米的速度飞往目的地，后因任务紧急，飞行速度提高到每小时 660 千米，结果提前 1 小时到达，问总的航程是多少千米？6、一列货车和一列客车同时同地背向而行，当货车行 5 小时，客车行 6 小时后， 两车相距 568 千米。 已知货车每小时比客车快 8 千米。客车每小时行多少千米？7、李欣骑自行车，刘强骑摩托车，同时从相距 60 千米的两地出发相向而行。途中相遇后继续前进背
10、向而行。在出发后 6 小时，他们相距 240 千米。已知李欣每小时行 18 千米，求刘强每小时行多少千米？8、甲、乙两人相距 22.5 千米，并分别以 2.5 千米 / 时与 5 千米 /时的速度同时相向而行，同时甲所带的小狗以 7.5 千米 / 时的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回头奔向甲，遇甲后又奔向乙 , 直到甲、乙两人相遇，求小狗所走的路程。9 、一辆汽车以每小时 60 千米的速度由甲地驶往乙地 , 当车行驶了 4 小时 30 分后 , 遇雨路滑 , 车不能开快 , 这样将速度每小时减少 20千米 , 结果比预计时间晚 45 分钟到达乙地 , 求甲 , 乙两地的距离。7 10、 小刚和小明
11、骑自行车去郊外游玩， 事先决定早晨 8 时从家里出发，预计每时骑 7.5 千米，上午 10 时可到目的地。出发前他们又决定上午 9 时到达目的地。那么每小时骑多少千米？2 工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量 =工作效率工作时间；工作时间 = 工作量工作效率 ；工作效率 = 工作量工作时间 。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体 1，如果完成全部工作的时间为 t，则工作效率为 1t 。常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，部分工作量之和 =总工作量。如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差 =多用的时间。在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给
12、出了明确的数量，这时不能看作整体 1，此时工作效率也即工作速度。例 1：加工某种工件，甲单独作要 20 天完成，乙只要 10 就能完成任务，现在要求二人在 12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解析：将全部工作看做整体 1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为 120，乙的工作效率为 110 。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务， 可知整个工程分成了两部分， 第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。所以8 可知等量关系为： 乙工作的工程量 +甲工作的工程量 =1。可设乙加工 x 天，那么因为要 12 天内完成任务，则甲
13、工作的天数为（ 12-x）天。因为乙的效率为 110 ，则乙的工程量为 x10 ；甲的工作效率为 120，则甲的工程量为 12 - x20，所以可列方程为：x10 +12 - x12 = 1解得： x=8 天。例 2：收割一块麦地，每小时割 4 亩，预计若干小时割完。收割了 ?后 , 改用新式农具收割， 工作效率提高到原来的 1.5 倍。 因此比预计时间提前 1 小时完工。求这块麦地有多少亩？解析： 本题的等量关系为： 老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业时间 =1。可设麦地有 x 亩，那么在改用新式农具之前的工作效率是 4 亩 /小时，按照此效率收割了 2x3 亩，此作业时间
14、为2x34 =x6。改用新式工具后，工作效率为 1.5 4=6 亩 /小时，工作任务为 x3亩，此作业时间为x36 =x18，所以老式收割与新式收割混合的作业时间为：x6 +x18 ，而单独老式收割的作业时间为 x4，所以根据等量关系可列方程为：x4 -x6 +x18 = 1解得 x=36亩。例 3：一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需 10 小时注满一池水，乙单独开需 6 小时注满一池水，丙单独开 15 小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？9 解析：可知三个水管的工作效率如下：甲水管的注水效率为 110；乙水管的注水效率为 16；丙水管的放水效率
15、为 115。那么当三个水管同时开时， 可知其等量关系为： 一定时间内甲乙的注水工作量 -丙的排水工作量 =工程整体 1。则可设注水时间为 x 小时，则甲的注水工作量为 x10 ，乙的注水工作量为 x6，丙的排水工作量为 x15 ，则可列方程为：x10 +x6 -x15 = 1解得 x=5 小时。巩固练习：1、一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。甲乙合做，需几小时完成这件工作 ? 2、一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。若甲先单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做，还需几小时完成 ? 3、 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12
16、小时完成，丙单独做 15 小时完成，若先由甲、丙合做 5 小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成 ? 4、整理一批数据， 、由一人做需要 80 小时完成。现在计划先由一些人做 2 小时，再增加 5 人做 8 小时，完成这项工作的 3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？10 5、某工厂计划 26 小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件 ， 用24 小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了 60件，问原计划生产多少零件？3 溶液配比问题行程问题中有四个基本量：溶质（纯净物） 、溶剂（杂质） 、溶液（混合物） 、浓度（含量） 。其关系式为：溶液 =溶质 +溶剂（混合物 =纯净物 +杂质）
17、；浓度 =溶质溶液 100 = 溶质溶质 + 溶剂 100；纯度（含量） =纯净物混合物 100 = 纯净物纯净物 + 杂质 100。由可得到： 溶质 =浓度溶液 =浓度（溶质 +溶剂） 。例 1：把 1000 克浓度为 80的酒精配成浓度为 60的酒精，应加入浓度为 20的酒精多少克？解析：等量关系是： 溶质质量相等。配比前的溶质质量分两部分， 第一部分为 80%浓度的酒精的溶质质量， 第二部分为浓度为 20%浓度的酒精的溶质质量。 配比后的溶质质量为 60%浓度的酒精的溶质质量。则设加入溶度为 20%的酒精 x 克，可以列式为：1000 ?80% + x ?20% = 1000 + x ?
18、60%计算得： x=2000克。11 例 2：现有浓度为 10%及浓度为 20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为 14%的溶液 100 克？解析：本题跟上题等量关系一样。可设需 10%浓度的氯化钠溶液 x 克，那么需 20%的氯化钠溶液（ 100-x）克，可列方程为：x ?10% + 100 - x ?20% = 100 ?14%解得： x=60克，则需要 20%浓度的 100-60=40克。巩固练习：1、有含盐 8%的盐水 40Kg，要使盐水含盐 20%，如果加盐，需加盐多少千克？如果蒸发掉水分，需蒸发掉多少千克的水？2、有两种合金，第一种含铜 90%，第二种含铜 80%，现要熔炼
19、一种含铜 82.5%的合金 240 千克，则两种合金应各取多少千克？3、 从每千克 0.8 元的苹果中取出一部分， 又从每千克 0.5 元的苹果中取出一部分混合后共 15 千克，每千克要卖 0.6 元，问需从两种苹果中各取出多少千克？4、在全国足球甲级 A 组的前 11 场比赛中，某队保持连续不败，共积 23 分，按照比赛规则，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，那么该队共胜利了多少场？5、小明在学校的篮球比赛中他一人得了 23 分，如果他投进的 2分球比 3 分球多 4 个，那么他投进的 2 分球是多少个？12 6、某同学要把 450 克浓度为 60%的盐溶液配成浓度为 40%的溶液， 但他
20、未经考虑便加入了 300 克水。 请通过计算说明该同学加进的水是超量的。 这时需加进盐多少克？配成 40%浓度的盐溶液多少克？4 销售问题与生活、 生产实际相关的销售类应用题， 是近年中考数学创新题中的一个突出类型。 销售类问题主要体现为三大类： 销售利润问题、优惠（促销）问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时， 一定要联系实际生活情景去思考， 才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。（ 1）销售利润问题。利润问题中有四个基本量： 成本 （进价） 、 销售价 （收入） 、 利润、利润率。基本关系式有：利润 =销售价（收入）成本（进价） ；成本（进价） =销售价（收入）利润
21、；利润率 = 利润成本（进价） ；利润 =成本（进价）利润率。在有折扣的销售问题中， 实际销售价 =标价折扣率。 打折问题中常以进价不变作相等关系。（ 2）优惠（促销）问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到13 不同的优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起” 。并以求得的数值为基准， 取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。（ 3）存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。 存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量 ，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有：利息 =本金利率期数；利息税 =利息税率
22、；本息和（本利） =本金 +利息利息税。例 1：某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同样商品 40 件。 如果商店销售这种商品时，要获利 12，那么这种商品的销售价应定多少？解析：设销售价每件 x 元，销售收入则为（ 10+40） x 元，而成本（进价）为（ 5 10+40 12.5）元，利润率为 12，则利润为（ 5 10+40 12.5） 12。则可列方程为：（ 10+40） x（ 5 10+40 12.5） =（ 5 10+40 12.5） 12解得 x=14.56元。例 2：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出
23、售，则赔 25 元， 而按定价的九折出售将赚 20 元。 问这种商品的定价是多少？14 解析：设定价为 x 元，七五折售价为 75 x 元，因为赔 25 元则利润为 25 元， 进价则为 75 x （ 25） =75 x+25； 九折销售售价为 90x，利润为 20 元，进价为 90 x 20。根据等量关系进价一定，克列方程为：75 x+25=90 x 20 解得 x = 300元。例 3：小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为 2.16 。取款时扣除 20利息税。小明共得到本利 504.32 元。问半年前小明共存入多少元？解析：本题中要求的未知数是本金，可
24、设存入的本金为 x 元， 由年利率为 2.16，期数为 0.5 年，则利息为 0.5 2.16 x，利息税为 200.5 2.16 x，则可列方程为：x +0.5 2.16 x 20 0.5 2.16 x=504.32 解得 x = 500元。例 4：某服装商店出售一种优惠购物卡，花 200 元买这种卡后，凭卡可在这家商店 8 折购物，什么情况下买卡购物合算？解析：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样” 。设购物 x 元买卡与不买卡效果一样， 买卡花费金额为 （ 200+80x）元，不买卡花费金额为 x 元，故有：15 200+80 x = x 解得： x = 1000元。当 x 1000 时，
25、如 x=2000 买卡消费的花费为： 200+802000=1800（元） 。不买卡花费为： 2000（元 ） 此时买卡购物合算。当 x 1000 时，如 x=800 买卡消费的花费为： 200+80800=840（元） 。不买卡花费为： 800（元） 此时买卡不合算。巩固练习：1、某单位准备要去某地方旅行 该单位正在准备联系旅行社 A、B旅行社每位的费用都是 300 A旅行社表明全部打 8 折付费 B旅行社表明一人免费 其余按 9 折付费 请问当该单位的人数为多少人去旅行时 两个旅行社的费用总额一样？2、 现在对某商品降价百分之十促销 ,为了使销售总金额不变 ,销售量要比按原价销售时增加百分
26、之几 ? 3、某牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取 500 元；制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售， 每吨可获取利润 2000 元。 该工厂的生产能力是： 制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片，每天可加工 1 吨。受人员限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕。为此设计两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余的直接销售鲜奶。方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并且恰好 4 天16 完成。 问：你认为选择哪种方案获利多？为什么？4、 某商场将彩电先按原价提高 30% ， 然后再在广告中写上 “大酬宾、八折优惠”， 结 果
27、每 台彩电比原价多赚了 112 元，求每台彩电的原价应是多少元？5、小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98 ， 利息税的税率为 20 . 到期支取时， 扣除利息税后小明实得本利和为 507.92 元。问小明存入银行的压岁钱有多少元？6、在市场上常听到小贩与顾客的讨价还价：“ 10 元的玩具赛车打八折” “能不能再便宜 2 元？”如果小贩真的让利 2 元卖了，他还能获利 20%，这种玩具的进价是多少元？7、老张把 5000 元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时，扣去利息税后实得本利和为 5080 元。已知利息税税率为 20，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？8、
28、某商品的进价是 2000 元，标价是 3000 元，若商店要求以利润率不低于 5的售价打折出售，则售货员最低可以打几折出售此商品？9、某商店把一种货品按标价的 9 折出售，可获利 20%，若其进价为每件 21 元，求每件标价多少元？10、某年二年期定期储蓄的年利率为 2.25 ，所得利息需交纳20的利息税。 已知某储户到期后实得利息 450 元， 问该储户存入本金多少元？5 数字问题17 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数， 要注意数位、 数位上的数字、数值三者间的关系：任何数 =（数位上的数字位权）如两位数 ab=10a+b；三位数 abc=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整
29、体设元思想的运用。例 1： 一个三位数， 三个数位上的和是 17， 百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上的数的 3 倍。求这个数。解析：设这个数十位上的数字为 x，则个位上的数字为 3x，百位上的数字为（ x+7） ，这个三位数则为 100（ x+7） +10x+3x。依题意可列方程为： （ x+7） +x+3x=17 。解得： x=2。所以这个三位数为： 100（ x+7） +10x+3x=900+20+6=926。例 2：一个六位数的最高位上的数字是 1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的 3 倍，求原数。解析：这个六位数最高位上的数移到个位后， 后五位数则
30、相应整体前移1 位，即每个数位上的数字被扩大 10 倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字 1 后的 5 位数为 x，则原数为100000+x，移动后的数为 10x+1，依题意可列方程为：10x+1=100000+x 解得 x = 42857。18 则原数为 142857。巩固练习：1、三个连续奇数的和是 63，求这三个奇数。2、三个连续偶数的和是 18，求它们的积。3、在日历上任意画一个含有 9 个数字的方框（ 3 3） ，然后把方框中的 9 个数字加起来，结果等于 90，试求出这 9 个数字正中间的那个数。4、一个三位数，三个数位上的数的和是 17，百位上的数比十位上的数
31、大 7，个位上的数是十位上数的 3 倍，求这三个数。5、已知三个连续奇数的和比它们相邻的两个偶数的和多 15，求三个连续奇数。8、将 55 分成四个数，如果第一个数加 1，第二个数减去 1，第三个数乘以 2，第四个数除以 3，所得的数都相同，求这四个数分别是多少？10、小华参加日语培训，为期 8 天，这 8 天的和为 100，问小华几号结束培训？11、 小明今年的生日的前一天， 当天和后一天的日期之和是 78，小明今年几号过生日？12、 王老师要参加三天培训， 这三天恰好在日历的一竖排上且三个数字相连，并且这三个日子的数字之和是 36，你知道王老师都要在几号参加培训吗？13、小明和小红作游戏，
32、小明拿出一张日历说； “我用笔圈出了19 2 2 的一个正方形，它们数字的和是 76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？14、三个连续偶数的和是 36，求它们的积。15、一个两位数，个位数字是十位数字的 4 倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大 54，求原来的两位数。16、三个连续奇数的和是 75，求这三个数。17、 一个两位数， 十位数字是 a,个位数字是 b,把这个两位数的十位数字与个位数字对调，所得的数减去原数，差为 72，求这个两位数。18、用一个正方形在某个月的日历上圈出 2 2 个数的和为 64，这 4 天分别是几号？19、如果用一个正方形在某个
33、月的日历上圈出 3 3 个数的和为126，则这 9 天分别是几号？20、若今天是星期一，请问 2004 天之后是星期几？22、有一个两位数，十位数字比个位数字的 2 倍多 1，将两个数字对调后，所得的数比原数小 36，求原数。23、 一个数的七分之一与 5 的差等于最小的正整数， 这个数是多少？24、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。25、某中学初一学生小刚今年 13 岁，属羊，非常巧合的是，小刚的爷爷也是属羊的，而且两个人的年龄的和是 86，你能算出小刚20 爷爷的年龄吗？26、三个连续偶数的和比其中最大的一个数大 10
34、，这三个连续偶数是什么？它们的和是多少？6 比例问题比例问题在生活中比较常见， 比如合理安排工人生产， 按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系， 或是量与量之间的比例关系。调配问题也属于比例问题， 其关键是要认识清楚 部分量、 总量以及两者之间的关系 。在调配问题中主要考虑 “总量不变” 。例 1：甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿 100 本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多 5 倍，如果从甲架上拿100 本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多少书？解析：在调配问题中， 调配后数量相等， 即将原来多的一方多出的数量进行平分。
35、由题设中 “从甲书架拿 100 本书到乙书架， 两架书相等” ，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多 200 本。故设乙架原有 x本书，则甲架原有（ x+200）本书。从乙架拿 100 本放到甲架上，乙架剩下的书为（ x 100）本，甲架书变为（ x+200） +100 本。又甲架的书比乙架多 5 倍，即是乙架的六倍，可列方程为：（ x+200） +100=6（ x 100）21 解得 x=380， 即乙书架原有 380 本书， 则甲书架原有 380+200=580本书。例 2：某车间 22 名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生产螺丝 120 个或螺母 200 个， 一个螺丝要配两个
36、螺母， 应分配多少名工人生产螺丝， 多少名工人生产螺母， 才能使每天生产的产品刚好配套？解析：产品配套 （工人调配） 问题， 要根据产品的配套关系 （比例关系）正确地找到它们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。本题中，设有 x 名工人生产螺母，生产螺母的个数为 200x 个，则有（ 22 x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为 120（ 22 x）个。由“一个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的 2 倍” ， 可列方程为：200x=2 120（ 22 x）解得 x=10。例 3：地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按 25 2 1 6的比例配制搅拌而成。现已将前三种料称好，公 5600
37、千克，应加多少千克的水搅拌？前三种料各称了多少千克？解析：解决比例问题的一般方法是： 按比例设未知数， 并根据题设中的相等关系列出方程进行求解。 本题中， 由四种坯料比例 25 2 1 6，22 设四种坯料分别为 25x、 2x、 x、 6x 千克， 由前三种坯料共 5600 千克，则可列方程为：25x+2x+x=5600 所以 x=200； 25x=5000； 2x=400； 6x=1200。例 4：教室内共有灯管和吊扇总数为 13 个。已知每条拉线管 3个灯管或 2 个吊扇，共有这样的拉线 5 条，求室内灯管有多少个？解析：这是一道对开关拉线的分配问题。设灯管有 x 支，则吊扇有（ 13）
38、个，灯管拉线为 x3条，吊扇拉线为 13 - x2 条，依题意“共有条拉线” ，则可列方程为：x3 +13 - x2 = 5解得 x=9。例 5：出口 1 吨猪肉可以换 5 吨钢材， 7 吨猪肉价格与 4 吨砂糖的价格相等， 现有 288 吨砂糖， 把这些砂糖出口， 可换回多少吨钢材？解析：本题可转换成一个比例问题。由猪肉钢材 =1 5，猪肉砂糖=7 4，得猪肉钢材砂糖 =7 35 4。则设可换回钢材 x 吨，可列方程为：x 288=35 4 解得 x=2620。23 巩固练习：1、苹果若干个分给小朋友，每人 m 个余 14 个，每人 9 个，则最后一人得 6 个。问小朋友有几人？2、在甲处劳
39、动的有 27 人，在乙处劳动有 19 人，现另外调 20人去支援，使在甲处工作的人数是乙处的 2 倍，问往甲、乙处各调多少人？3、某工厂第一车间比第二车间人数的 45少 30 人，如果从第二车间调出 10 人到第一车间去， 则第一车间人数是第二车间人数的 34， 这两个车间原来各有多少人？4、某车间有两个小组，甲组是乙组人数的 2 倍，若从甲组调 12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多 3 人，求原来甲、乙两组人数？5、甲厂有工人 57 名，乙厂有工人 75 名，现需从二个厂中抽调42 名去支援别的工厂，且要使抽调后甲厂人数是乙厂人数的二分之一，问从甲、乙两厂中各调多少人？6、两个水池共
40、存水 40 吨，甲池注进水 4 吨，乙池放出水 8 吨，甲池中水吨数与乙池中水吨数相等，两个水池原来各有水多少吨？7、甲、乙、丙三个粮仓共存粮 80 吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是 1： 2；乙、丙两仓存粮数这比是 1： 2.5，求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨？8、 某种三色冰淇淋 50 克， 咖啡色、 红色和白色配料的比是 2：3： 5，这种三色冰淇淋中咖 啡色、红色和白色配料分别是多少克？24 9、足球表面是由若干个黑色五边形和六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为 3： 5， 一个 足球表面一共有 32 个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？10、甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是 7
41、： 6，甲用掉 50 元，乙用掉 60 元，则二人余下的钱数比为 3： 2，求二人余下的钱数分别是多少？7 设中间变量的问题一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。例 1：甲、乙、丙、丁四个数的和是 43，甲数的 2 倍加 8，乙数的 3 倍，丙数的 4 倍，丁数的 5 倍减去 4，得到的 4 个数却相等。求甲、乙、丙、丁四个数。解析：本题中要求 4 个量，在后面可用方程组求解。若用一元一次方程求解，如果设某个数为未知数，其余的数用未知数表示很麻烦。这里由甲、乙、丙、丁变化后得到的数相等，故设这个相等的数为 x，则甲数
42、为 x- 82 ，乙数为 x3，丙数为 x4，丁数为 x+45 ，由四个数的和是 43，可列方程为：x - 82 +x3+x4+x+45 =43 解得 x = 36。例 2：某中学生足球联赛共赛 10 轮（即每队均需比赛 10 场） ，其中胜 1 场得 3 分， 平 1 场得 1 分， 负 1 场得 0 分。 胜利中学足球队在25 这次联赛中所负场数比平场数少 3 场，结果公得 19 分。胜利中学在这次联赛中胜了多少场？解析：本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数，但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。故设平 x 场，则负 x 3 场，胜 10（ +）场，
43、依题意可列方程为：310（ x+x 3） +x=19 解得 x=4，所以 10（ +） =5。还有一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要， 而且其中某些量不需要求解。 这时， 我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件， 然后在计算中消去。 这将有利于我们对问题本质的理解。例 3：一艘轮船从重庆到上海要 5 昼夜，从上海驶向重庆要 7 昼夜，问从重庆放竹排到上海要几昼夜？（竹排的速度为水的流速）解析：航行问题要抓住路程、速度、时间三个基本量，一般有两种已知量才能求出第三种未知量。本题中已知时间量，所求也是时间量，故需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方程。 本题中考虑
44、到路程量不变，故设两地路程为 a 公里，则顺水速度为 a5，逆水速度为 a7，设水流速度为 x，则可列方程为：a5a7+26 解得 a35，又设竹排从重庆到上海的时间为 y 昼夜，可列方程a35 y=a 解得 y=35。此列问题为了使变量简单可直接设两地路程为 1。例 4：某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是： 1 名教师全部收费，其余 7 5 折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生 8 折优惠。（ 1）学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？（ 2）若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜 ?，问学生人数是多少？
45、解析：在本题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量， 又都是列方程时不可少的基本量，但标价不需求解。（ 1） 可 设标价为 a 元，学生人数 x 人，甲旅行社的收费为：a+0.75a（ x+1） 元， 乙旅行社收费为： 0.8a（ x+2） 元， 则可列方程为：a+0.75a（ x+1） =0.8a（ x+2）解得 x=3。（ 2）设学生人数为 y 人，甲旅行社收费为 a+0.75a（ x+1）元，乙旅行社收费为 0.8a（ x+2）元，则可列方程为：0.8a（ x+2） a+0.75a（ x+1） 132 0.8a（ x+2）解得： x=8。27 巩固练习：1、甲、已两个团体共 120 人去某风景区旅游。风景区规定超过80 人的团体可购买团体票，已知每张团体票比个人票优惠 20%，而甲、已两团体人数均不足 80 人，两团体决定合起来买团体票，共优惠了 480 元，则团体票每张多少元？2、小明想在两种灯中选购一种，其中一种是 10 瓦的节能灯，售价 32 元；另一种是 40 瓦的白炽灯，售价为 2 元。 两种灯的照明效果一样， 使用寿命也相同。 如果电费是 0.5 元 /每千瓦时。 请你根据照明时间的多少选择购买哪一种灯？
