1、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。一、一元二次方程根的判别式关于 的一元二次方程 xcbxa2)0(a用配方法可得 224)(称为根的判别式acb42则方程有两个不相等的实数根0则方程有两个相等的实数根则方程没有实数根反过来也成立根的判别式主要用来解决以下两类问题 不解方程，判断方程实数根的情况； 根据方程实数根的情况，确定方程中某一字母系数的取值范围。例 1 不解方程判断下列关于 的一元二次方程根的情况x x623 x1
2、 02bax 4m解：运用判别式先要将方程化为一般形式 02632x34)(方程有两个相等实数根 0123x038234)2( 方程没有实数根 方程是一元二次方程0ac0422bb方程有两个实数根 )1(2mx0)2(41644)22 m方程有两个实数根例 2 一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 0)1(2x。解：错误解法 )(4)(2m= = 0)2(m注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有字母时，要加上二次项系数可为 0 这个限制条件。正确解法 0123且 m例 3 关于 的一元二次方程 其根的判别式的值为 1，x 01)3(2mxx求 的值。解
3、： =)1(4)1(222m012注意 舍去m例 4 已知关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。x02)1(mxm解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。 方程为一元一次方程 有一个实根 01m121x 方程为一元二次方程 04)()2(且 时方程有两个实数根1综上，当 时方程有实根。0小结： 应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为 0； 应用判别式应将方程化为一般形式； 注意有实根和有两个实根的区别。二、一元二次方程根与系数的关系如果 ， 是方程 （ ）的两个根1x202cbxaa则有 acx21一元二次方程根与系数的关系是初中数
4、学中重要的基础知识，主要用来解决以下四类问题： 利用两根关系确定方程的系数； 不解方程，求某些关于根的代数式的值； 根据根系关系构造新方程； 判断方程两根的符号。应用根系关系要注意定理的前提条件： 方程应为一元二次方程，注意二次项系数 0a 在有实数根的条件下 0例 5 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，x)32(2mxx 满足 求 的值1m解： 即 1 又 )32(m2)(解之得 31m12当 时 0当 时 舍去04)3(2 3例 6 已知方程 的两个根为 ，求 的值。012x,解： 5432 ， 010 ， = = = = = =22213例 7 已知方程 的两个实数根为
5、，求作一个以 和 为根0142x, 122的一元二次方程。解：首先 方程有两个不等实根2法 1 ， 4112)(2)1()(42222 6)(942224 + =122 141294=22 所求方程为 014y法 2 注意到 均为原方程的根,01422 4141222这样计算较为简单。一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（二）例 8 已知 实数 且 ， ， 求 的值。ba012a012bba解： 由已知 是方程 的两个不等实根,x1 已知 ， 且 ，求 的值。02p02q1pq解： 由 及 122可知 ，0pq又 1由 02q01)(2q又 12p与 可看作方程 的两个不等实根q02x1p
6、已知实数 分别满足 ， ，求 的值。ba, 22a2bba1解：依题意 都是方程 的实数根, 0x 当 时 是 的两个不等实根ba,2211ab 当 时 是 的同一个实数根ba,022x3x当 = + 时 ba1131ab当 = - 时 32例 9 已知 是一元二次方程 的两个实数根，且满足 21,x 012mx，求 的值。21xm解： 不对称，利用根系关系1)(21x21x代入方程， 可求出 47m当 时， 47m)(0 例 10 已知关于 的一元二次方程 ，若 为方程的两个实数x 042142mx21,x根，且满足 ，求 的值。0816221 m解：已知 ， ， 不对称，利用方程和根系关4
7、2x1x系 ， ，)8(2)(21 0421421mx61xmx= )(24212= 04)8()(02)18()4(2m，0142682m当 时 4, 或 0例 11 已知：关于 的一元二次方程 的两个实数根之差的平方为 ，x02cax m 试分别判断当 与 时， 4 是否成立，并说明理由。3,1ca,m 若对于任意一个非零的实数 ， 总成立，求实数 及 的值。4c分析：求一元二次方程两根差的方法有两种 求出 ， 易得21,x21)( = 由根系关系可得)(2124x解： 当 ， 时，原方程为 a3c 03， ， 成立1x216)(21xm4当 ， 时，原方程为 c420，21x21x= 不
8、成立21)(m2114)(x4 设方程的两个实数根为 ,x， 21xac21 =)(m214)(xxac对于任意非零实数 ， c ac40 当 ， 2 0c， 4m例 12 已知关于 的两个方程x0)()(2和 3n方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根。 求证：方程的两根符号相同； 设方程的两根分别为 ，若 ，且 为整数，求 的最小整数,2:1nm值。分析：利用判别式和根系关系可判别方程两根符号 若 两根同号 此时 当 ，两根同为负数0acab0当 ，两根同为正数 若 两根异号 此时 当 ，正根绝对值小于负根绝对值ac0ab0当 ，正根绝对值大于负根绝对值当 = ，两根绝对值相等 若
9、= 即 两根至少有一个为零ac0此时 当 ，另一根必为负数ab0当 ，另一根必为正数当 = ，即 另一根也为零b 证明：设 为方程的两个实数根21,x由已知 021x即 0240)4(2)(m解得 由方程有两个实根可知 0 当 时， ，方程有两根之积为正。m43 方程有两根符号相同。 2:1mn320nn3)2(9)2(由 ，又 为整数4当 时 不是整数5m45)2(nn当 时 或 68117当 时 1, )3()(22m0当 时 7nm4n 的最小整数值为 6小结： 在使用根系关系时，要注意前提条件：二次项系数 ，判别式 。 0a0 求和两根有关的代数式：如果是对称式，可用根系关系；如果不是对称式，可考虑利用方程和根系关系相结合。 根系关系和判别式相结合可判断两根的符号。
