1、一元二次方程解法的综合运用内容教学目标(一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法：(二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想；(三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法.教学重点的难点重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法.难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧.教学过程设计(一)复习1.一元二次方程的一般形式是什么?2.不完全的一元二次方程有哪几种?3.解一元二次方程有哪四种方法?(二)新课 同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现的错误.例 1 解方
2、程：x(x-1)= 3x(x+1)分析：(启发学生一起想)先化为一般形式.解：原方程化为(1- )x2-(1+ )x=0,提取公因式 x,得 x(1- 3)x-(1+ )=0,x=0,(1- 3)x-(1+ )=0.(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)例 2 解方程：(3x+2) 2-8(3x+2)+15=0.分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2) 2和 8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式.观察题目的结构可见，把 3x+2 换元为 t，则原方程就是 t 的一元二次方程. 解：设 3x+2=t,原方程变为 t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以 t1=3,t2=
3、5.即 3x+2=3 或3x+2=5.故 x1=31 3,x2=1.注：本题也可直接写为(3x+2)-3(3x+2)-5=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故 x1=1 3,x2=1.例 3 解方程：144x 2=61-208x.解：原方程化为 144x2+208x-61=0,则 a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4144(-61)=2082+414461.(此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积)b2-4ac=(1613) 2+2242961=82 (4169961)=8 21225=(835) 20,原方程有实根.361,4
4、,365368021xx所 以例 4 解方程：2(x+1) 2+3(x+1)(x-2)-2(x-2) 2=0.分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般过程太繁.观察题目结构，可换元. 解：设 x+1=m,x-2=n,原方程变形为 2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0,2m-n=0 或 m+2n=0,即 2(x+1)-(x-2)=0 或(x+1)+2(x-2)=0 所以 x1=-4 ,x2=1.另解：也可直接写为2(x+1)-(x-2)(x+1)+2(x-2)=0,2x+2-x+2=0 或 x+1+2x-4=0,故 x 1=-4,x2=1.例 5 解方程：
5、(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.分析：从例 4 的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次” ，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程.本题是一元四次方程，我们试试能不能和因式分解法把方程(注意，必须等号一边为0)(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0 的左边分解因式.解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，(x+2)(x-4)(x+3)(x-5)-44=0,(x 2-2x-8)(x2-2x-15)-44=0,令 y=x2-2x-8,原方程变为 y(y-7)-44=0,即 y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-
6、11=0 或y+4=0,即 x2-2x-8-11=0 或 x2-2x-8+4=0.由 x2-2x-19=0，得 x1,2=12 5；由 x2-2x-4=0,得 x3,4=1 5.所以 x 1=1+2 ,x2=1-2 ,x3=1+ ,x4=1- .(三)课堂练习1.解方程：( 43-x)2-(x- )(1-x)=0.2.解方程：x 2+ x-1=0.(1.x1= 43,x2=85. 2.x= 26(四)小结1.换元、降次是解方程的重要思路.2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除.(五)作业1.用适当方法解方程：(1) x2+2=3x; (2) x2=3x+2;(3) (x-1)(x+
7、2)=70; (4) (3-x) 2=9-x2;(5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x);(7) x2+(1-3 5)x+4+ =0; (8) 2(x+1)(x+2)=3x(x+2);(9) (x+7)(x-7)=2x-50; (10) (3x-1)(x+3)=1;解关于 x 的方程：作业的答案或提示当 a=b=0 时，方程的解不定；当 a0 时，cbxa21,当 a=0,bc0 时， x=b+c,当 a=b=0 或 a=c=0 时，方程的解不定.课堂教学设计说明1.例 2，例 4，例 5 都渗透了换元、降次的思想.2.例 3 说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式，性质，使计算简捷.
