1、第 3 讲 三角函数的图象和性质板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质必会结论1函数 y Asin(x )和 yAcos(x) 的最小正周期为 T，函数 ytan(x )的最小正周期为 T .2| |2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期而正14切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为 yAsinx 或 yAtanx 的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)y cosx 在第一、二象
2、限内是减函数( )(2)函数 y sin 是偶函数，最小正周期为 .( )(2x 32)(3)函数 y sinx 的对称轴方程为 x2k (kZ)( )2(4)函数 y tanx 在整个定义域上是增函数 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编 若函数 f(x)cos2x，则 f(x)的一个递增区间为( )A. B.( 4，0) (0，2)C. D.(2，34) (34，)答案 B解析 由 f(x)cos2x 知递增区间为 ，kZ ，故只k，k 2有 B 项满足32018福建模拟 函数 f(x)sin 的图象的一条对称轴是( )(x 4)Ax Bx4 2C x Dx4 2答案 C解
3、析 由 x k ，得 xk ，当 k1 时，x .4 2 34 442018厦门模拟 函数 y sin 1 的图象的一个对称2 (2x 4)中心的坐标是( )A. B.(38，0) (38，1)C. D.(8，1) ( 8， 1)答案 B解析 对称中心的横坐标满足 2x k，解得4x ，k Z.当 k1 时，x ，y 1.故选 B.8 k2 385课本改编 函数 ytan 的定义域是( )(4 x)A. B.xx 4 xx 4C. D.xx k 4，k Z xx k 34，k Z答案 D解析 ytan tan ，由 x k，k Z ，得(4 x) (x 4) 4 2xk ， kZ.故选 D.3
4、46函数 y 32cos 的最大值为_，此时(x 4)x_.答案 5 2k( kZ)34解析 函数 y32cos 的最大值为 325，此时(x 4)x 2k (kZ)，即 x 2k(kZ)4 34板块二 典例探究考向突破考向 三角函数的定义域、值域例 1 (1)2018 烟台模拟 函数 y 的定义域为( )cosx 32A. 6，6B. (kZ )k 6，k 6C. (k Z)2k 6，2k 6DR答案 C解析 cosx 0，得32cosx ， 2k x 2k ，kZ.32 6 6(2)函数 y 2sin (0x9)的最大值与最小值之和为(6x 3)_答案 2 3解析 0x9， x ，3 6
5、3 76 sin 1，32 (6x 3)故 2sin 2.3 (6 3)即函数 y 2sin (0x 9)的最大值为 2，最小值为 .所(6x 3) 3以最大值与最小值的和为 2 .3本例(2)中的函数换为“y3sinx 2cos 2x，x ”，如何解答？6，76解 x ，sinx .6，76 12，1又 y3sinx2cos 2x3sinx2(1sin 2x)2 2 ，(sinx 14) 78当 sinx 时，y min ；14 78当 sinx 或 sinx1 时，y max2.12故函数的最大值与最小值的和为 2 .78 238本例(2)中的函数换为“ysin xcosxsin xcos
6、x，x 0，” ，又该如何解答？解 令 tsinx cos x，又 x0，t sin ，t 1， 2 (x 4) 2由 tsin xcos x，得 t212sin xcosx，即 sinxcosx .1 t22原函数变为 yt ，t1， 1 t22 2即 y t2t .12 12当 t1 时，y max 1 1；12 12当 t1 时，y min 1 1.12 12故函数的最大值与最小值的和为 110.触类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组) ，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域( 最值)，首先把三角函数化为y
7、Asin( x )k 的形式，再求最值(值域 )，或用换元法(令tsin x，或 tsinx cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最值) (3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题此时注意所换元的取值范围【变式训练 1】 (1)函数 y 的定义域为( )2sinx 1A.6，56B. (kZ)2k 6，2k 56C. (kZ)(2k 6，2k 56)D. (kZ)k 6，k 56答案 B解析 由 2sinx10，得 sinx ，所以122k x 2k (kZ )6 56(2)函数 y cos ，x 的值域是_ (x 6)
8、0，2答案 12，32解析 x ，x ，0，2 6 6，23y . 12，32考向 三角函数的单调性例 2 已知函数 f(x) 2sin (0)的最小正周期为 .(2x 4)(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性0，2解 (1) 因为 f(x)2sin 的最小正周期为 ，且 0.从(2x 4)而有 ，故 1.22(2)因为 f(x)2sin .(2x 4)若 0x ，则 2x .2 4 4 54当 2x ，即 0x 时，4 4 2 8f(x)单调递增；当 2x ，即 x 时，f(x )单调递减2 4 54 8 2综上可知，f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递0，8 (8
9、，2减触类旁通三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如 yA sin(x )或 yAcos(x)(其中，0) 的单调区间时，要视“x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间 上单调递减，则有 ，即 T0，23 23 T2，所以 T ，解得 .所以 的值可以是 .故选 A.43 2 43 32 12(2)函数 y sin 的递增区间是_(3 2x)答案 (kZ)k 512，k 1112解析 y sin ，(2x 3)2k 2x 2k 2 3 32k x k (kZ )512 1112考向 三角函数的奇偶性、周期性及对称性命题角度 1 三角函数的周期性与奇偶性例 3 2018 长沙模拟 设
10、函数 f(x) sin2 (x 4)的最小正周期为 ，且是偶函数，则( )(0，|0,00)的形式2.函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 ，2|ytan( x )的最小正周期为 .|3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等) 可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysint 的性质满分策略1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2.要注意求函数 yAsin( x)的单调区间时 的符号，尽量化成 0 时的情况3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错
11、误的.板块三 启智培优破译高考数学思想系列 4三角函数中的分类讨论思想2018龙岩模拟 已知函数 f(x)2asin ab 的定义域是(2x 6)，值域是 5,1，求 a，b 的值0，2解题视点 先求出 2x 的范围，再求出 sin 的值域；6 (2x 6)系数 a 的正、负影响着 f(x)的值，因而要分 a0，a0 或 a0 时，Error!解得Error!当 a0 或 a2，即图象 A；当 a12a时，三角函数的最大值为 a1 2，且最小正周期为 T 0)的图象的相邻两支截直线 y1 所得的线段长为 ，则 f 的值是( )4 (12)A0 B. C1 D.33 3答案 D解析 由条件可知，
12、f(x) 的周期是 .由 ，得 4，所以 f4 4 tan tan .(12) (412) 3 35函数 y 2sin (x0，)的增区间是( )(6 2x)A. B.0，3 12，712C. D.3，56 56，答案 C解析 y 2sin 2sin ，由(6 2x) (2x 6)2k 2x 2k ，kZ，解得 kx k ，kZ，2 6 32 3 56即函数的增区间为 ，k Z，当 k0 时，增区间为3 k，56 k.3，5662018深圳模拟 函数 ylog cosx 的一个单调减区间是( )12A( ，0) B(0，) C. D.(0，2) ( 2，0)答案 D解析 首先应保证 cosx0
13、 ；函数 ylog cosx 的单调减区12间，即函数 cosx 的单调增区间 .易知只有选项 D 符合.72018郑州模拟 如果函数 y3sin(2x) 的图象关于直线x 对称，则|的最小值为( )6A. B. C. D.6 4 3 2答案 A解析 由题意，得 sin 1.(26 )所以 k ，即 k(kZ)，3 2 6故| min .68函数 y 2sin 1，x 的值域为_，并且(2x 3) 0，3取最大值时 x 的值为_ 答案 1,1 12解析 x ，2x ，0，3 3 3，sin 0,1，y 1,1(2x 3)当 2x 时，即 x 时 y 取得最大值 1.3 2 1292018江苏模
14、拟 函数 ylg sin2x 的定义域为9 x2_答案 3， 2) (0，2)解析 由Error!得Error!3x 或 0x .函数 ylg sin2x 的定义域2 2 9 x2为 . 3， 2) (0，2)10如果函数 y3cos(2x)的图象关于点 成中心对称，(43，0)那么| |的最小值为_答案 6解析 依题意得3cos 0， k ，k (kZ)，所以|的最小(83 ) 83 2 136值是 .6B级 知能提升12017全国卷 设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的(x 3)是( )Af(x)的一个周期为2B y f(x)的图象关于直线 x 对称83C f(x)的一个零点为 x6
15、Df(x)在 单调递减(2，)答案 D解析 A 项，因为 f(x)cos 的周期为 2k(kZ)，所以 f(x)的(x 3)一个周期为2，A 项正确 B 项，因为 f(x)cos 图象的对(x 3)称轴为直线 xk (kZ)，所以 yf( x)的图象关于直线 x 对3 83称，B 项正确C 项，f(x)cos .令 x k (kZ)，(x 43) 43 2得 xk ，当 k1 时，x ，所以 f(x)的一个零点为56 6x ， C 项正确 D 项，因为 f(x)cos 的递减区间为6 (x 3)(kZ)，递增区间为 (kZ)，所2k 3，2k 23 2k 23，2k 53以 是减区间， 是增区
16、间，D 项错误(2，23) 23，)故选 D.22018宁夏模拟 已知 0，函数 f(x)sin 在(x 4)上单调递减，则 的取值范围是( )(2，)A. B.12，54 12，34C. D(0,2)(0，12答案 A解析 由 x，0 得， x ，又2 2 4 4 4ysin x 在 上递减，所以Error!解得(2，32) .故选 A.12 543已知函数 f(x)cos ，其中(3x 3)x ，若 f(x)的值域是 ，则 m 的最6，m(m R且 m 6) 1， 32大值是_答案 518解析 由 x ，可知 3x 3m ，6，m 56 3 3f cos ，且 f cos 1 ，要使 f(
17、x)的值域(6) 56 32 (29)是 ，需要 3m ，解得 m ，即 m 的最大 1， 32 3 76 29 518值是 .51842018广东模拟 设函数 f(x)tan .(x2 3)(1)求函数 f(x)的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式1f(x) 的解集3解 (1) 由 k (kZ)，x2 3 2得 x 2k (kZ)，53所以函数 f(x)的定义域是Error!.因为 ，所以周期 T 2.12 由 k k(kZ)，2 x2 32得 2kx 2k(kZ)3 53所以函数 f(x)的单调递增区间是 ( 3 2k，53 2k)(kZ)(2)由 1 tan ，得 k k(kZ)(x
18、2 3) 3 4 x2 3 3解得 2kx 2k (kZ )6 43所以不等式1f(x) 的解集是3Error!.5已知函数 f(x)sin( x )(01,0 ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 对称(34，0)(1)求 ， 的值；(2)求 f(x)的单调递增区间；(3)x ，求 f(x)的最大值与最小值 34，2解 (1) 因为 f(x)sin(x)是 R 上的偶函数，所以 k，k Z ，且 0 ，则 ，即 f(x)cos x.2 2因为图象关于点 M 对称，(34，0)所以 k， kZ，且 01，所以 .34 2 23(2)由(1)得 f(x)cos x，由 2k x2k 且 kZ 得，23 233k x 3k，kZ，32所以函数 f(x)的递增区间是 ，kZ.3k 32，3k(3)因为 x ，所以 x ， 34，2 23 2，3当 x0 时，即 x0，函数 f(x)的最大值为 1，23当 x 时，即 x ，函数 f(x)的最小值为 0.23 2 34
