1、专题层级快练( 三十七)1(2018海南三亚一模)在数列 1，2， ， ， ，中， 2 是这个数列的第( )7 10 13 19项( )A16 B24C26 D28答案 C解析 设题中数列a n，则 a11 ，a 22 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，所以1 4 7 10 13an .令 2 ，解得 n26.故选 C.3n 2 3n 2 19 762设数列a n的前 n 项和 Snn 2，则 a8 的值为( )A15 B16C49 D64答案 A解析 a 1S 11，a nS nS n1 n 2(n 1) 22n1(n2)a 828115.故选 A.3已知数列a n满足 a10，a n1 a
2、n2n，则 a2 017 等于( )A2 0172 018 B2 0162 017C2 0152 016 D2 0172 017答案 B解析 累加法易知选 B.4已知数列x n满足 x11，x 2 ，且 (n2)，则 xn 等于( )23 1xn 1 1xn 1 2xnA( )n1 B( )n23 23C. D.n 12 2n 1答案 D解析 由关系式易知 为首项为 1，d 的等差数列， ，所以 xn .1xn 1x1 12 1xn n 12 2n 15已知数列a n中 a11，a n an1 1(n2) ，则 an( )12A2( )n1 B( )n1 212 12C22 n1 D2 n1答
3、案 A解析 设 anc (an1 c) ，易得 c2，所以 an2 (a12)( )n1 ( )n1 ，所以选 A.12 12 126若数列a n的前 n 项和为 Sn an3，则这个数列的通项公式 an( )32A2(n 2n1) B23 nC32 n D3n1答案 B解析 a nS nS n1 ，可知选 B.7(2018云南玉溪一中月考) 已知正项数列a n中，a 11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2) ，则 a6 的值为( )A2 B42C8 D16答案 B解析 因为正项数列a n中， a11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2)，所以an2a n1
4、2a n 12a n2(n2)，所以数列a n2是以 1 为首项，a 22a 123 为公差的等差数列，所以 an213(n1)3n2 ，所以 a6216.又因为 an0，所以 a64，故选 B.8(2018华东师大等四校联考) 已知数列a n满足：a 1 ，对于任意的17nN *，a n1 an(1a n)，则 a1 413a 1 314( )72A B.27 27C D.37 37答案 D解析 根据递推公式计算得a1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，可以归纳通项公式为：17 72 17 67 37 72 37 47 67 72 67 17 37当 n 为大于 1 的奇数时，a n ；当 n
5、 为正偶数时，a n .故 a1 413a 1 314 .故选 D.67 37 379(2018湖南衡南一中段考) 已知数列a n，若 a12，a n1 a n2n1，则 a2 016( )A2 011 B2 012C2 013 D2 014答案 C解析 因为 a12，故 a2a 11，即 a21.又因为 an1 a n2n1，a na n1 2n3，故 an1 a n1 2，所以 a4 a22，a 6a 42，a 8a 62，a 2 016a 2 0142，将以上 1 007 个等式两边相加可得 a2 016a 221 0072 014，所以 a2 0062 01412 013，故选C.10
6、在数列a n中，a 13，a n1 a n ，则通项公式 an_1n（n 1）答案 41n解析 原递推式可化为 an1 a n ，1n 1n 1则 a2a 1 ，a 3a 2 ，11 12 12 13a4a 3 ，a na n1 .13 14 1n 1 1n逐项相加，得 ana 11 .又 a13，故 an4 .1n 1n11已知数列a n满足 a11，且 an1 (nN *)，则数列a n的通项公式为an3an 1_答案 a n13n 2解析 由已知，可得当 n1 时，a n1 .an3an 1两边取倒数，得 3.1an 1 3an 1an 1an即 3，所以 是一个首项为 1，公差为 3
7、的等差数列1an 1 1an 1an 1a1则其通项公式为 (n1)d1(n 1)33n 2.1an 1a1所以数列a n的通项公式为 an .13n 212在数列a n中，a 11，当 n2 时，有 an3a n1 2，则 an_答案 23 n1 1解析 设 ant3(a n1 t)，则 an3a n1 2t.t1，于是 an13(a n1 1)a n1是以 a11 2 为首项，以 3 为公比的等比数列a n23 n1 1.13在数列a n中，a 12，a n2a n1 2 n1 (n2) ，则 an_答案 (2n1)2 n解析 a 12，a n2a n1 2n1 (n2)， 2.令 bn
8、，则 bnb n1 2(n2) ，b 11.an2n an 12n 1 an2nb n1(n1)2 2n1，则 an(2n 1)2 n.14已知数列a n的首项 a1 ，其前 n 项和 Snn 2an(n1)，则数列a n的通项公式为12_答案 a n1n（n 1）解析 由 a1 ，S nn 2an，12S n1 (n 1) 2an1 .，得 anS nS n1 n 2an(n1) 2an1 ，即 ann 2an(n1) 2an1 ，亦即 (n2) anan 1 n 1n 1 .ana1 anan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1 n 1n 1 n 2n n 3n 1 24 13 2n
9、（n 1）a n .1n（n 1）15(2017太原二模)已知数列 an满足 a11，a na n1 (nN *)，则2anan 1n（n 1）an_答案 n3n 2解析 由 ana n1 得 2( )，则由累加法得2anan 1n（n 1） 1an 1 1an 2n（n 1） 1n 1n 1 2(1 )，又因为 a11，所以 2(1 )1 ，所以 an .1an 1a1 1n 1an 1n 3n 2n n3n 216(2018河北唐山一中模拟) 已知首项为 7 的数列a n满足 3 n1 (nN *)，则数n i 2 ai2i 1列a n的通项公式为_ 答案 a n 7（n 1），6n（n
10、2）， )解析 当 n2 时， 3 n，又 3 n1 ，两式相减，得 23 n，所以n 1i 2 ai2i 1ni 2 ai2i 1 an2n 1an6 n.由于 a17 不符合 an 6n，所以数列a n的通项公式为 an 7（n 1），6n（n 2）.)17数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n 1)(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：a n ，求数列b n的通项公式b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1答案 (1)a n2n (2)b n2(3 n1)解析 (1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 n(n
11、 1)(n1)n2n，知a12 满足该式，数列a n的通项公式为 an2n.(2)a n (n1) ，b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1a n1 .b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1 bn 13n 1 1，得 a n1 a n2，b n1 2(3 n1 1)bn 13n 1 1故 bn2(3 n1)(n N *)1(2017衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A2 016 B2 015C. D.12 016 12 015答案 D解析 如果把第 n 个 a 值记作 an，第 1 次运行后得到 a2 ，第 2 次运行后得到 a3a1a1 1，第 n
12、 次运行后得到 an1 ，则这个程序框图的功能是计算数列 an的第 2 a2a2 1 anan 1015 项将 an1 变形为 1，故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数anan 1 1an 1 1an 1an列，故 n，即 an ，所以输出结果是 .故选 D.1an 1n 12 0152若数列a n满足 a11，a n1 2 nan，则数列a n的通项公式 an_答案 2n（n 1）2 解析 由于 2 n，故 2 1， 2 2， 2 n1 ，将这 n1 个等式叠乘，得an 1an a2a1 a3a2 anan 12 12(n1) 2 ，故 an2 .ana1 n（n 1）2 n（n 1）2 3已知 Sn 为数列a n的前 n 项， a n2(n2) ，且 a12，则a na12 a23 a34 an 1n的通项公式为_答案 a nn1解析 a n2(n2) ，当 n2 时， a 22，解得a12 a23 a34 an 1n a12a23. a n1 2， a n1 2(a n2)(n 2)，得 a12 a23 a34 an 1n ann 1 ann 1 an 1n 2(n2) ， 1，a nn1(n2) ，当 n1 时也满足，故ann 1 an 1n 2 ann 1 a23ann1.
