1、第 4 讲 基本不等式板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 重要不等式a2b 22ab(a，bR)( 当且仅当 ab 时等号成立 )考点 2 基本不等式 aba b21.基本不等式成立的条件：a0，b0 ；2.等号成立的条件：当且仅当 ab 时等号成立；3.其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的a b2 ab几何平均数考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题1.如果 x，y(0 ，)，且 xyP(定值)，那么当 x y 时，xy 有最小值 2 .(简记：“积定和最小”)P2.如果 x，y(0 ，)，且 xy S(定值)，那么当 x y 时，xy 有最大值 .(简记：
2、“和定积最大”)S24必会结论常用的几个重要不等式(1)a b2 (a0，b 0)；ab(2)ab 2(a，bR)；(a b2 )(3) 2 (a，bR)；(a b2 ) a2 b22(4) 2(a ，b 同号) ba ab以上不等式等号成立的条件均为 ab.考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y x 的最小值是 2.( )1x(2)函数 f(x)cosx ，x 的最小值等于 4.( )4cosx (0，2)(3)x0，y0 是 2 的充要条件( )xy yx(4)若 a0，则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a(5)a2 b2 c2abbcca(
3、a，b，c R)( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.课本改编 已知 a，bR ，且 ab1，则 ab 的最大值为( )A.1 B. C. D.14 12 22答案 B解析 a，bR ，1ab2 ，ab ，当且仅当ab14ab 时等号成立故选 B.123.课本改编 已知 a0，b0，ab2，则 y 的最小值是( )1a 4bA. B4 C. D572 92答案 C解析 y (ab) ，故选 C.12 (1a 4b) 12(5 4ab ba) 924.2018苏州模拟 若 0x6，则 f(x) 的最大值为( )x8 xA. B4 C. D.163 433 5答案 B解析 0x6
4、， 8x 0，f(x ) 4，当且仅当 x8 x ，即 x4 时，等号成x8 xx 8 x2立故 f(x)的最大值为 4.故选 B.5.课本改编 若 f(x)x (x2)在 xn 处取得最小值，则1x 2n( )A. B3 C. D452 72答案 B解析 由 f(x)x (x 2) 24，当且仅当 x21x 2 1x 20，即 x3 时，取得等号故选 B.1x 26.2018上海模拟 若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y 2 的最小值为_答案 2 2解析 x 22y 22 2 ，当且仅当 x y 时取“” ，x22y2 2 2x 22y 2 的最小值为 2 .2板块二 典例探究考向突破
5、考向 利用基本不等式求最值 例 1 2017山东高考若直线 1(a0 ，b0) 过点(1,2)，则xa yb2a b 的最小值为 _答案 8解析 直线 1(a0，b0)过点(1,2)，xa yb 1，1a 2b2ab(2ab) 4 42 8，(1a 2b) 4ab ba 4abba当且仅当 ，即 a2，b4 时，等号成立ba 4ab故 2ab 的最小值为 8.本例条件不变，求 ab 的最小值解 1 2 ，当 ，即 a2， b4 时，1a 2b 2ab 1a 2bab8，ab 的最小值为 8.若 4a2 b1 ，求 2ab 的最大值解 4 a2 b2 2 ，22a2b 22a b2 1，2a b
6、2，22a b2ab 的最大值为2.若 log2alog 2b1 ，求 2a b 的最小值解 log 2(ab)1， ab2，2ab2 4，当 a1，b2 时，2 ab 的最小值为 4.2ab触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略(1)利用基本(均值) 不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定” “三相等” (2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值) 不等式.【变式训练 1】 (1)已知 00，则函数 yx 的最小值为_22x 1 32答案 0解析 yx 22 20，当且仅22x 1 32 (x 12) 1x 1
7、2 (x12) 1x 12当 x ，即 x 时等号成立所以函数的最小值为 0.12 1x 12 12考向 条件最值问题 例 2 2018 大同检测 若正数 a，b 满足 abab3，求：(1)ab 的取值范围；(2)ab 的取值范围解 (1) ab ab32 3，ab令 t 0，t 22t30，(t3)(t1) 0.abt3 即 3，ab9，ab当且仅当 ab 3 时取等号(2)ab a b3，ab3 2.(a b2 )令 tab0 ，t 24t120，(t6)(t2)0.t6 即 ab6，当且仅当 ab3 时取等号.触类旁通求条件最值应注意的问题(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，
8、并能灵活进行转化；(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法.【变式训练 2】 (1)2018珠海模拟已知x0，y0，x 3y xy9，则 x3y 的最小值为( )A.2 B4 C6 D8答案 C解析 解法一：由已知得 xy9(x3y) ，即 3xy273(x 3y) 2，当且仅当 x3y ，即 x3，y1 时取等号，令(x 3y2 )x3yt，则 t0，且 t212t1080，得 t6.即 x3y6.解法二：x3y 9 xy2 ，( )3xy xy22 90，( 3 )( )0，3 xy xy 3 xy 300，b0 ，若 a0，b0，再运用基本不等式求解3.“当且仅当 ab
9、时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误板块三 启智培优 破译高考易错警示系列 9连续应用基本不等式时切记等号成立的条件2017天津高考若 a， bR，ab0，则 的最小值为a4 4b4 1ab_错因分析 两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错解析 a 44b 42a 22b24a 2b2(当且仅当 a22b 2 时“”成立) ， 4ab ，a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab由于 ab0， 4ab 2 41ab 4ab1ab，(当 且 仅 当 4ab 1ab时 “ ”成 立 )故当且仅当Error!时， 的最小值为 4.a4
10、 4b4 1ab答案 4答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.跟踪训练 已知 ab0，求 a2 的最小值16ba b解 ab0，ab 0.b(a b) 2 .b a b2 a24a 2 a 2 2 16.16ba b 64a2 a264a2当 a2 且 bab ，即 a2 ，b 时等号成立64a2 2 2a 2 的最小值为 16.16ba b板块四 模拟演练提能增分 A级 基础达标1.2018浙江模拟 已知 x0，y0，则“xy 1”是“xy 2”的( )A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条
11、件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 xy1，由基本不等式，知 xy 2 2；反之，取xyx3，y1，则满足 xy2，但 xy31，所以“xy1”是“xy2”的充分不必要条件故选 A.2.当 x0 时，函数 f(x) 有( )2xx2 1A.最小值 1 B最大值 1C.最小值 2 D最大值 2答案 B解析 x0，f(x) 1.故选 B.2x 1x3.2015湖南高考 若实数 a，b 满足 ，则 ab 的最小值1a 2b ab为( )A. B2 C2 D42 2答案 C解析 由 2 ，得 ab2 ，当且仅当 时取ab1a 2b 2ab 2 1a 2b“” 故选 C.4.2018人大附中模拟
12、 (6 a3)的最大值为( )3 aa 6A.9 B. C3 D.92 322答案 B解析 因为6a3，所以 3a0，a60.由基本不等式，可知 ，当且仅当 a 时等号成3 aa 63 a a 62 92 32立故选 B.5.2018秦皇岛模拟 函数 y (x1)的最小值是 ( )x2 2x 1A.2 2 B2 2 C2 D23 3 3答案 A解析 x1，x10，y x1 x1 2x2 1 3x 1 x 1x 1 3x 1 3x 1 3x 12 2(当且仅当 x1 时取“”)故选 A.3 36.设 x0，y0，且 x 4y40，则 lg xlg y 的最大值是( )A.40 B10 C4 D2
13、答案 D解析 x 4y40，且 x0，y0，x4y2 4 .(当且仅当 x4y 时取 “”)x4y xy4 40.xy100.xylg xlg ylg (xy) lg 1002.lg xlg y 的最大值为 2.故选 D.7.2018山西模拟 已知不等式(xy) 9 对任意正实数(1x ay)x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )A.2 B4 C6 D8答案 B解析 (xy) 1a a1a 2 ( 1) 2，(1x ay) xy yx a a当且仅当 a ，即 ax2y 2 时“”成立xy yx(x y) 的最小值为 ( 1) 29.(1x ay) aa4.故选 B.8.2017江苏高
14、考 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 _答案 30解析 一年的总运费为 6 (万元) 600x 3600x一年的总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为 万元(3600x 4x)因为 4x2 240，当且仅当 4x ，即 x303600x 3600x 4x 3600x时取得等号，所以当 x 30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小.9.函数 y2x (x1)的最小值为_1x 1答案 2 22解析 因为 y2x (x1)，所以 y2x 2( x1) 1x 1 1x
15、 122 2 2 2.1x 1 2x 1 1x 1 2当且仅当 x1 时取等号，故函数 y2x (x1)的最小22 1x 1值为 2 2.210.2018正定模拟 若正数 x，y 满足 x3y 5xy ，则 3x4y 的最小值是_答案 5解析 由 x3y 5xy，可得 1，15y 35x所以 3x4 y(3 x4y) (15y 35x) 2 5，当且仅当95 45 3x5y 12y5x 135 3x5y12y5x 135 125x1，y 时取等号，故 3x4y 的最小值是 5.12B级 知能提升1.若两个正实数 x，y 满足 1，且不等式 x 0，y0，x 2 4，y4 (x y4)(1x 4
16、y) 4xy y4xmin4，(x y4)m 23m4，解得 m4.故选 B.2.设 a0，b 1，若 a b2，则 的最小值为( )2a 1b 1A.32 B6 2C 4 D22 2答案 A解析 由题可知ab2，ab11， (ab1) 22a 1b 1 (2a 1b 1) 132 ，当且仅当 ，即2b 1a ab 1 2 2b 1a ab 1a2 ，b 时等号成立故选 A.2 23.2018湖北八校联考已知正数 a，b 满足 2a2b 23，则 a的最大值为 _b2 1答案 2解析 a a (2a2b 21)b2 122 2 b2 1 22 12 (31) ，24 2当且仅当 a ，且 2a
17、2b 23，2 b2 1即 a2 1，b 21 时，等号成立故 a 的最大值为 .b2 1 24.2018郑州模拟 若 a0，b0，且 .1a 1b ab(1)求 a3b 3 的最小值；(2)是否存在 a，b ，使得 2a3b 6？并说明理由解 (1) 因为 a0，b0，且 ，1a 1b ab所以 2 ，所以 ab2，ab1a 1b 1ab当且仅当 ab 时取等号2因为 a3b 32 2 4 ，ab3 23 2当且仅当 ab 时取等号，2所以 a3b 3 的最小值为 4 .2(2)由(1)可知， 2a3b 2 2 4 6，2a3b 6ab 3故不存在 a，b，使得 2a3b6 成立.5.已知 lg (3x)lg ylg (xy1)(1)求 xy 的最小值；(2)求 xy 的最小值解 由 lg (3x)lg ylg (xy 1)，得Error!(1)x0，y 0，3xyxy 12 1，xy3xy2 10，即 3( )22 1 0，xy xy xy(3 1)( 1)0， 1，xy1，xy xy xy当且仅当 xy 1 时，等号成立 xy 的最小值为 1.(2)x0，y 0，x y13xy3 2，(x y2 )3( xy) 24(xy )40，3(xy) 2(xy ) 20，xy2，当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.
