1、题组层级快练( 六十二)1(2018江西南昌市一模)对任意的实数 k，直线 ykx1 与圆 x2y 22x20 的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D以上都有可能答案 C解析 圆 C：x 2y 22x2 0，配方，得(x1) 2y 23，圆心(1 ，0)，直线 ykx1 恒过 M(0，1)，而(01) 2(1) 20)与直线 yk(x2) 有公共点，则 k的取值范围是( )A ，0) B(0， )34 34C(0， D ， 34 34 34答案 C解析 x 2y 26x0(y0) 可化为(x 3) 2y 29(y0)，曲线表示圆心为(3，0) ，半径为 3 的上半圆，它与直线 yk(x2)
2、 有公共点的充要条件是：圆心 (3，0)到直线 yk(x 2)的距离 d3，且 k0， 3，且 k0，解得 00)上的动点，过点 P 作圆C：x 2y 22x4y40 的两条切线， A，B 是切点，C 是圆心，若四边形 PACB 面积的最小值为 2 ，则 k 的值为( )2A3 B2C. D.13 152答案 A解析 圆的标准方程为(x1) 2(y2) 21，则圆心为 C(1，2) ，半径为 1.由题意知直线与圆相离，如图所示，S 四边形 PACBS PAC S PBC ，而 SPAC |PA|CA| |PA|，S 12 12PBC |PB|CB| |PB|，又 |PA|PB| ，|PC| 取
3、最小值时，S PAC S PBC 取最12 12 |PC|2 1小值，此时，CP 垂直于直线，四边形 PACB 面积的最小值为 2 ，S PAC S 2PBC ，|PA|2 ，|CP| 3， 3，又 k0，k3.故选 A.2 2|k 8 10|k2 1612(1)若点 P(1，2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_(2)以 C(1，3) 为圆心，并且与直线 3x4y60 相切的圆的方程为_答案 (1)x2y50 (2)(x1) 2(y 3) 29解析 (1)由题意，得 kOP 2，则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为 ，所以所求2 01 0 12切线方程为 y2 (x
4、1)，即 x2y50.12(2)r 3，所求圆的方程为(x1) 2(y3) 29.|31 43 6|513已知直线 xy20 及直线 xy100 截圆 C 所得的弦长均为 8，则圆 C 的3 3面积是_答案 25解析 因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长均为 8，所以圆心到直线的距离 d 为两直线距离的一半，即 d 3.又因为直线截圆 C 所得的弦长为 8，所以圆的半12 |2 10|3 1径 r 5，所以圆 C 的面积是 25.32 4214已知点 P(2，2)和圆 C：x 2y 21，设 k1，k 2 分别是过点 P 的圆 C 两条切线的斜率，则 k1k2 的值为_答案 1解析 设
5、过点 P 的切线斜率为 k，方程为 y2k(x 2)，即 kxy2k20.其与圆相切则 1，化简得 3k28k30.|2k 2|k2 1所以 k1k21.15过直线 xy2 0 上一点 P 作圆 x2y 21 的两条切线，若两条切线的夹角是 60，2则点 P 的坐标是_答案 ( ， )2 2解析 点 P 在直线 xy2 0 上，可设点 P(x0，x 02 )，且其中一个切点为 M.2 2两条切线的夹角为 60，OPM30.故在 RtOPM 中，有|OP|2|OM|2.由两点间的距离公式得，|OP| 2，解得 x0 .故点 P 的坐标是( ， )x02 （ x0 22）2 2 2 216(201
6、4大纲全国)直线 l1 和 l2 是圆 x2y 22 的两条切线若 l1 与 l2 的交点为(1，3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于_答案 43解析 利用两点间距离公式及直角三角形求AOB 各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值如图，|OA| .12 32 10半径为 ，|AB| 2 .2 |OA|2 |OB|2 10 2 2tanOAB .|OB|AB| 222 12所求夹角的正切值为 tanCAB .2tanOAB1 tan2OAB2121 14 4317(2017天津)设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相
7、切于点 A.若FAC 120，则圆的方程为_答案 (x1) 2(y )213解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心坐标为 C(1，a)(a0)，则 A(0，a) ，又 F(1，0)，所以 (1，0)， (1，a) ，由题意得 与 的夹角为 120，得 cos120AC AF AC AF ，解得 a ，所以圆的方程为(x 1) 2(y )21. 111 a2 12 3 318(2018杭州学军中学月考) 已知圆 C：x 2y 22xa0 上存在两点关于直线l：mxy10 对称(1)求实数 m 的值；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点， 3(O 为坐标原点 )，求圆 C 的方程OA O
8、B 答案 (1)m1 (2)x 2y 22x30解析 (1)圆 C 的方程为(x 1) 2y 21a ，圆心 C(1，0)圆 C 上存在两点关于直线 l：mxy10 对称，直线 l：mxy10 过圆心 C.m10，解得 m1.(2)联立 消去 y，得 2x24xa1 0.x2 y2 2x a 0，x y 1 0， )设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，168(a1)0，a0) 截直线 xy0 所得线段的长度是2 ，则圆 M 与圆 N：(x1) 2(y1) 21 的位置关系是 ( )2A内切 B相交C外切 D相离答案 B解析 圆 M：x 2y 22ay0 的圆心 M(0，a)，半径为
9、a，所以圆心 M 到直线 xy0 的距离为 .|a|2由直线 xy0 被圆 M 截得的弦长为 2 ，知 a2 2 ，2a22故 a2，即 M(0，2)且圆 M 的半径为 2.又圆 N 的圆心 N(1，1) ，且半径为 1，根据 10.因此 x1 ，x 2 ，（8 2a） 56 16a 4a24 （8 2a） 56 16a 4a24从而 x1x 24a，x 1x2 .a2 2a 12由于 OAOB，可得 x1x2y 1y20，又 y1x 1a，y 2x 2a ，所以 2x1x2a(x 1x 2)a 20.由，得 a1，满足 0，故 a1.8(2015课标全国)已知过点 A(0，1)且斜率为 k
10、的直线 l 与圆 C：(x2) 2(y 3) 21交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.OM ON 答案 (1)( ， ) (2)24 73 4 73解析 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以 1.|2k 3 1|1 k2解得 k .4 73 4 73所以 k 的取值范围为( ， )4 73 4 73(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)将 ykx1 代入圆 C 的方程 (x2) 2(y 3) 21，整理得(1k 2)x24(1 k)x70.所以 x1x 2 ，x 1x2 .4（1 k）1 k2 71 k2 x 1x2y 1y2OM ON (1k 2)x1x2k(x 1x 2)1 8.4k（1 k）1 k2由题设可得 812，解得 k1，所以 l 的方程为 yx1.4k（1 k）1 k2故圆 C 的圆心(2，3)在 l 上，所以|MN|2.
