1、2018 年内蒙古高考数学试卷（文科） （全国新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）i （2+3i）= （ ）A3 2i B3+2i C3 2i D 3+2i2 （5 分）已知集合 A=1，3，5，7，B=2，3， 4，5，则 AB=（ ）A3 B5 C3，5 D1，2，3，4，5，73 （5 分）函数 f（x ）= 的图象大致为（ ）A B CD4 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=（ ）A4 B3 C2 D05 （5 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2
2、人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为（ ）A0.6 B0.5 C0.4 D0.36 （5 分）双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= xBy= xCy= x Dy= x7 （5 分）在ABC 中， cos = ，BC=1，AC=5 ，则 AB=（ ）A4 B C D28 （5 分）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）Ai=i +1 Bi=i+2 Ci=i +3Di=i +49 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A B C D
3、10 （5 分）若 f（x ）=cosxsinx 在0，a是减函数，则 a 的最大值是（ ）A B C D11 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF 2，且PF 2F1=60，则 C 的离心率为（ ）A1 B2 C D 112 （5 分）已知 f（x ）是定义域为（ ，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ）A 50 B0 C2 D50二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 14
4、 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 15 （5 分）已知 tan（ ）= ，则 tan= 16 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，已知 a1=7，S 3=15（1）求a n的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小
5、值18 （12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1，2 ，17）建立模型： =30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2 ， ，7）建立模型： =99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）如图，在三棱锥
6、PABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离20 （12 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB |=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程21 （12 分）已知函数 f（ x）= x3a（x 2+x+1） （1）若 a=3，求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23
7、 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（ 1，2） ，求 l 的斜率选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x ）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围2018 年内蒙古高考数学试卷（文科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本
8、题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）i （2+3i）= （ ）A3 2i B3+2i C3 2i D 3+2i【解答】解：i（2+3i）=2i+3i 2=3+2i故选：D2 （5 分）已知集合 A=1，3，5，7，B=2，3， 4，5，则 AB=（ ）A3 B5 C3，5 D1，2，3，4，5，7【解答】解：集合 A=1，3，5，7，B=2，3， 4，5，AB=3，5故选：C3 （5 分）函数 f（x ）= 的图象大致为（ ）A B CD【解答】解：函数 f（x）= = =f（ x） ，则函数 f（x ）为奇函数，图
9、象关于原点对称，排除 A，当 x=1 时，f（1）=e 0，排除 D当 x+时， f（x）+ ，排除 C，故选：B4 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=（ ）A4 B3 C2 D0【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =1，则 （2 ）=2 =2+1=3，故选：B5 （5 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2人都是女同学的概率为（ ）A0.6 B0.5 C0.4 D0.3【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种，故选中的 2
10、 人都是女同学的概率 P= =0.3，（适合文科生） ，设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C ，则任选 2 人的种数为 ab， aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种，其中全是女生为 AB，AC，BC 共 3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P= =0.3，故选：D6 （5 分）双曲线 =1（a 0，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= xBy= xCy= x Dy= x【解答】解：双曲线的离心率为 e= = ，则 = = = = = ，即双曲线的渐近线方程为 y= x= x，故选：A7 （5 分）在ABC 中， cos = ，BC
11、=1，AC=5 ，则 AB=（ ）A4 B C D2【解答】解：在ABC 中，cos = ，cosC=2 = ，BC=1，AC=5 ，则 AB= = = =4 故选：A8 （5 分）为计算 S=1 + + ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）Ai=i +1 Bi=i+2 Ci=i +3Di=i +4【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=NT=（1 ）+（ ）+ +（ ） ；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2故选：B9 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A B
12、C D【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 棱长为 2，则 A（2，0 ， 0） ，E （0，2，1） ，D（0，0，0） ，C（ 0，2，0） ，=（ 2，2，1） ， =（0 ，2，0） ，设异面直线 AE 与 CD 所成角为 ，则 cos= = = ，sin= = ，tan= 异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 故选：C10 （5 分）若 f（x ）=cosxsinx 在0，a是减函数，则 a 的最大值是（ ）A B C D【解答】解：f（x）=cosx sinx=（sinx
13、cosx）= sin（x ） ，由 +2kx +2k，k Z，得 +2kx +2k，kZ，取 k=0，得 f（ x）的一个减区间为 ， ，由 f（x）在0，a是减函数，得 a 则 a 的最大值是 故选：C11 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF 2，且PF 2F1=60，则 C 的离心率为（ ）A1 B2 C D 1【解答】解：F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点，若 PF1PF 2，且PF 2F1=60，可得椭圆的焦点坐标 F2（c ，0） ，所以 P（ c， c） 可得： ，可得 ，可得e48e2+4=0，e（
14、0，1） ，解得 e= 故选：D12 （5 分）已知 f（x ）是定义域为（ ，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ）A 50 B0 C2 D50【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1 x）=f（1+x） ，f（ 1x）=f（ 1+x）=f（x 1） ，f（0）=0 ，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x +4）=f（x+2）=f （x） ，即函数 f（x ）是周期为 4 的周期函数，f（ 1）=2，f（ 2）=f（ 0）=0 ，f （3 ）=f （1 2）=f（ 1）= f（1）= 2，f（4）=f（0）=
15、0 ，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12 f（1）+f（2 ）+f （3）+f（4）+f（ 49）+f（50）=f（1）+f（2）=2 +0=2，故选：C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 （5 分）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2 【解答】解：y=2lnx，y= ，当 x=1 时，y=2曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2故答案为：y=2x 214 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 9 【解答】解：由
16、x，y 满足约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，z 取得最大值，由 ，解得 A（5，4） ，目标函数有最大值，为 z=9故答案为：915 （5 分）已知 tan（ ）= ，则 tan= 【解答】解：tan（ ）= ，tan（ ）= ，则 tan=tan（ + ）= = = = = ，故答案为： 16 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 8 【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SAB 的面积为 8，可得：
17、，解得 SA=4，SA 与圆锥底面所成角为 30可得圆锥的底面半径为：2 ，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V= =8故答案为：8三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17 （12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，已知 a1=7，S 3=15（1）求a n的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn 的最小值【解答】解：（1）等差数列a n中，a 1=7，S 3=15，a 1=7，3a 1+3d=15，解得 a1=7，d=2，a n=
18、7+2（n 1）=2n 9；（2）a 1=7，d=2，a n=2n9，S n= = =n28n=（n 4） 216，当 n=4 时，前 n 项的和 Sn 取得最小值为 1618 （12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1，2 ，17）建立模型： =30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2 ， ，7）建立模型： =99+17
19、.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【解答】解：（1）根据模型： =30.4+13.5t，计算 t=19 时， =30.4+13.519=226.1；利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1 亿元；根据模型： =99+17.5t，计算 t=9 时， =99+17.59=256.5；利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元；（2）模型得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境
20、基础设施投资额是逐年上升的，而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些，从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些，所以，利用模型的预测值更可靠些19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离【解答】 （1）证明：AB=BC=2 ，AC=4，AB 2+BC2=AC2，即ABC 是直角三角形，又 O 为 AC 的中点，OA=OB=OC，PA=PB=PC，POA POBPOC ，POA= POB=POC
21、=90，POAC，POOB，OBAC=0，PO平面 ABC；（2）解：由（1）得 PO 平面 ABC，PO= ，在COM 中， OM= = S = = ，SCOM = = 设点 C 到平面 POM 的距离为 d由 VPOMC=VCPOM，解得 d= ，点 C 到平面 POM 的距离为 20 （12 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB |=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F（1，0） ，当直线的斜率不存在时
22、，|AB|=4，不满足；设直线 AB 的方程为：y=k（x1） ，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，则 ，整理得：k 2x22（k 2+2）x+k 2=0，则 x1+x2= ，x 1x2=1，由|AB|=x 1+x2+p= +2=8，解得：k 2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x， ；方法二：抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F（1，0） ，设直线 AB 的倾斜角为 ，由抛物线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin 2= ，= ，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）过 A，B 分别向准线 x=1 作垂线，垂足分别为 A1，B 1，设 AB
23、 的中点为D，过 D 作 DD1准线 l，垂足为 D，则|DD 1|= （|AA 1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，则 r=|DD1|=4，以 AB 为直径的圆与 x=1 相切，且该圆的圆心为 AB 的中点 D，由（1）可知：x 1+x2=6，y 1+y2=x1+x22=4，则 D（3，2） ，过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程（x3） 2+（y 2） 2=16 21 （12 分）已知函数 f（ x）= x3a（x 2+x+1） （1）若 a=3，求 f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点【解答】解：（1）当 a=3
24、时，f （x）= x3a（x 2+x+1） ，所以 f（x）=x 26x3 时，令 f（x）=0 解得 x=3 ，当 x（， 32 ） ，x （ 32 ，+）时，f （x ）0 ，函数是增函数，当 x（32 时， f（x）0，函数是单调递减，综上，f（x ）在（，32 ） ， （3 2 ，+） ，上是增函数，在（32上递减（2）证明：因为 x2+x+1=（x+ ） 2+ ，所以 f（ x）=0 等价于 ，令 ，则 ，所以 g（x）在 R 上是增函数；取 x=max9a，1 ，则有 = ，取 x=min9a， 1，则有 = ，所以 g（x ）在（min 9a，1，max9a ，1）上有一个零点，
25、由单调性则可知，f（x）只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（ 1，2） ，求 l 的斜率【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为： 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 转换为直角坐标方程为：sinx cosy+2co
26、ssin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： + =1整理得：（4cos 2+sin2） t2+（8cos+4sin）t8=0，则： ，由于（1，2）为中点坐标，所以： ，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线 l 的斜率为2选修 4-5：不等式选讲（10 分）23设函数 f（x ）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=1 时，f （x）=5|x+1|x2 |= 当 x1 时，f（x）=2x +40，解得2x1，当1 x2 时，f（x）=20 恒成立，即1x2，当 x2 时，f（x）=2x+6 0，解得 2x 3，综上所述不等式 f（x） 0 的解集为 2，3，（2）f（x ）1，5 |x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x +a|+|2x|x +a+2x|=|a+2|，|a +2|4 ，即4 a +24 ，解得6a 2 ，故 a 的取值范围6，2
