1、第 2 课时 空间几何体的表面积、体积1(2018黑龙江哈尔滨六中模拟) 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积是( )A42 B46 6C42 D42 2答案 A解析 由三视图可以看出，几何体是有一个与底面垂直且全等的侧面，另外两侧面为全等三角形的三棱锥由图中数据知底面为等腰三角形，底边长为 2，高为 2，故面积为 222.在底面上，由顶点在底面12的投影向另两侧面的底边作高，将垂足与三棱锥顶点连接起来即得此两侧面的高由图中数据，得侧面的底边长为 ，高为 2 ，所以此两侧面的面积均为 2 ，故此三棱锥的表面积为565 12 65 5 622 42 .故选 A.6 6 62(2018四川攀
2、枝花质检)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A. B. 3 6 3 5C. D. 2 6 2 5答案 C解析 该几何体是高为 1，底面四边形为对角线长为 2 的菱形的四棱锥 ABCDE，如图所示在直角三角形 ABE 中，AB1，BE ，AE .2 3在三角形 AED 中，AE ，ED ，AD ，3 2 5AE2DE 2AD 2，三角形 AED 是直角三角形，则该几何体的侧面积为 S2( 1)2( ) ，故12 2 12 2 3 2 6 选 C.3(2018安徽师大附中、马鞍山二中高三测试) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A12 B18C
3、24 D30答案 C解析 由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再减去一个三棱锥后得到的，该几何体的体积V 435 43(52)24，故选 C.12 13 124(2018安徽淮北一模)如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为( )A. B.33 32C. D.233 3答案 D解析 如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面 ABCD底面 PAB，侧面 ABCD 为直角梯形，ADBC，DAAB ，该几何体的体积 V 2 ，故选 D.13 1 22 3 35(2017合肥一检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角
4、三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )A64，4816 B32，48162 2C. ，3216 D. ，4816643 2 323 2答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示体积 V 44432，表面积 S2 424(4 44 )4816 .12 12 2 26(2016课标全国)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A20 B24C28 D32答案 C解析 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周长 c2r 4，圆锥的母线长 l 4，圆柱的高 h4，S 表 r 2ch
5、cl416828.22 （23）2127(2018山东师大附中模拟) 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 ，则这个圆锥的体积为( )3A. B.153 323527C. D.128281 833答案 C解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP， OPOP4，PP4 ，由余弦定理可得3cosPOP ， POP .OP2 OP2 PP22OPOP 12 23设底面圆的半径为 r，圆锥的高为 h，则有 2r 4，23r ，h ，43 l2 r2 823圆
6、锥的体积 V r2h .13 1282818(2018甘肃兰州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A(9 ) B(92 )5 5C(10 ) D(102 )5 5答案 A解析 该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥S 表面积 122141 (9 ).5 59(2017浙江)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 1 B. 3 2 2C. 1 D. 332 32答案 A解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V 3 213 1，故选 A.13 12 13 12 210某几何体的三视图如图所
7、示，则该几何体的体积为( )A8 B8 4 2C8 D82答案 C解析 由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即V222 122 8.故选 C.1211(2018河北唐山模拟)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A24 B243C24 D242答案 A解析 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖去右下方 球后得到的几何体，该球以顶点为球心，218为半径，则该几何体的表面积为 2263 22 42224，故选 A.14 1812(2018福建晋江联考)如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为 的半圆和相同的正三角3形，其中正三角形的上
8、顶点是半圆弧的中点，底边在直径上，则该几何体的表面积是( )A6 B8C10 D11答案 C解析 由三视图可知，该几何体是一个半球挖去一个圆锥后得到的几何体，且半球的底面半径为 ，圆锥的3轴截面为等边三角形，其高为 ，故圆锥的底面半径为 1，母线长为 2.该几何体的表面由半球的侧面、圆锥3的侧面以及半球的底面除去圆锥的底面三部分构成半球的侧面积 S1 4( )26，圆锥的侧面积12 3S2122，半球的底面圆的面积 S3( )2 3，圆锥的底面积 S41 2，所以该几何体的3表面积为 SS 1S 2S 3S 462310 .故选 C.13(2018贵州贵阳模拟)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图
9、相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积 V甲 ，乙的体积为 V 乙 ，则( )AV 甲 V 乙 DV 甲 ，V 乙 的大小关系不能确定答案 C解析 由三视图知，甲几何体是一个以边长为 1 的正方形为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以 V 甲 V 乙 ，故选 C.14(2018郑州质量预测)将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B.27 827C. D. 3 29答案 B解析 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得 ，所以 x22r，所以圆柱的r
10、1 2 x2体积 Vr 2(22r) 2 (r2r 3)(0r1)设 V(r)2(r 2r 3)(0r1)，则 V(r)2(2r 3r 2)，由 2(2r3r 2)0，得 r ，所以圆柱的最大体积 Vmax2( )2( )3 ，故选 B.23 23 23 82715(2018沧州七校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案 解析 该几何体是一个半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则其体积 V 122.1216(2018江苏盐城一模)将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，其中 AB3，BC2，圆柱上底面圆心为 O，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 O
11、EFG 体积的最大值是_答案 4解析 由题意，易知所得圆柱如图所示，其中圆柱的底面半径为 2，高为 3，三棱锥OEFG 的高为 3，当EFG 的面积最大时，三棱锥 OEFG 的体积最大由EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则可设 EF 为直径， 当点 G 在 EF 的垂直平分线上时，EFG 的面积最大，最大值(S EFG)max 424， 三棱锥 OEFG 体积的最大值12Vmax (SEFG)max3 434.13 1317.右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，EC PD，且PDAD2EC 2.(1)画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥 BCEPD 的体积答
12、案 (1)略 (2)2解析 (1)如图所示：(2)PD平面 ABCD，PD 平面 PDCE，平面 PDCE平面 ABCD.BCCD，BC 平面 PDCE.S 梯形 PDCE (PDEC)DC 323，12 12四棱锥 BCEPD 的体积 VBCEPD S 梯形 PDCEBC 322.13 1318如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接 BC，证明：BC平面 EFG.答案 (1)略 (2) cm3 (3
13、)略2843解析 (1)如图所示(2)所求多面体的体积是：VV 长方体 V 正三棱锥 446 ( 22)2 cm3.13 12 2843(3)如图所示，复原长方体 ABCDA BCD，连接 AD，则 ADBC.E，G 分别是 AA，AD的中点，ADEG.从而 EGBC .又 BC平面 EFG，BC平面 EFG.1(2018重庆巴蜀中学期中) 我国的神舟十一号飞船已于 2016 年 10 月 17 日 7 时 30 分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，并于 19 日凌晨，与天空二号自动交会对接成功，如图所示为飞船上某零件的三视图，网格纸表示边长为 1 的正方形，粗实线画的是该零件的三视图，则该零件
14、的体积为( )A4 B8C12 D20答案 C解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是长为 6，宽为 2 的矩形，高为 3，所以该几何体的体积 V62312，故选 C.132(2018宜昌一中期中)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( )A2 B4C2 D425 5答案 C解析 由三视图可得原几何体如图，该几何体的高 PO2，底面ABC 是腰长为 2 的等腰直角三角形，该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC.事实上，PO底面ABC，平面 PAC底面 ABC，而 BCAC，BC平面 PAC，BCPC. PC ，S 22 12 5PBC 2 ，S A
15、BC 222.12 5 5 12面积和为 2 ，故选 C.53(2018河北廊坊模拟)如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A12 B6C2 D3答案 B解析 由三视图知该几何体是底面为直角梯形的四棱柱，其高为 2，梯形的上底为 ，下底为22 ，高为 ，其体积为( 2 ) 26.故选 B.2 2 2 2 2124.(2018广州检测)高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )A. B.14 13C. D.12 23答案 C解析 由侧视图、俯视图知
16、该几何体是高为 2、底面积为 2(24) 6 的四棱锥，其体积为 4.易知直三棱12柱的体积为 8，则该几何体的体积是原直三棱柱体积的 ，故选 C.48 125(2018广东清远一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A12 B24C40 D72答案 C解析 由三视图可知几何体为长方体上面放了一个四棱锥所求体积 V342 34440.136(2018河南八市重点质检) 如图是某几何体的三视图，当 xy 最大时，该几何体的体积为( )A2 B1151512 12C. D115154 154答案 A解析 由三视图可知，几何体是一个四分之一的圆锥与一个三棱柱的组合体设该几何体的高为
17、 h，则所以 x2y 232.由不等式 xy 可知，当且仅当 xy4 时，xy 取到最大值，此时 hh2 y2 31，h2 12 x2，) x2 y22，所以组合体的体积为 1 4 11 2 ，故选 A.1512 15 14 13 15 15 15127.(2015福建，文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A82 2B112 2C142 2D15答案 B解析 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为 2 的直四棱柱，所以其表面积为 S 表面积 S 侧面积 2S 下底面积 (112 )22 (12)111 2 ，故选 B.212 28(2018重庆荣昌中学期中) 如
18、图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，圆心为 B，半径为 1 的圆与 AB，BC 分别交于点 E，F，则阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成几何体的体积等于( )A B6C. D443答案 B解析 由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC 旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥该圆柱的底面半径 RBA2，母线长 lAD2，故该圆柱的体积 V12 228，半球的半径为1，其体积 V2 13 ，圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体积 V3 221 ，所以阴影部分12 43 23 13 43绕直线 BC 旋转一周形成的几何体的体积 VV 1V 2V 36.9.(2015课标全国)一
19、个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B.18 17C. D.16 15答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为 1，则截去部分三棱锥 AA 1B1D1，其体积为 ，又16正方体的体积为 1，则剩余部分的体积为 ，故所求比值为 .故选 D.56 1510(2017山东济宁模拟)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A752 B75410 10C484 D48210 10答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个四棱柱两个底面面积之和为 2 327，四个侧面的面积之和是4 52(345 )4484 ，故表面积是 75
20、4 .10 10 1011(2018湖南长沙模拟)如图 (单位：cm)，则图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的体积为_答案 1403解析 图中阴影部分绕 AB 旋转一周后形成的几何体是一个圆台，从上面又挖去了一个半球12(2018天津和平区校级月考) 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm 3.答案 163解析 由三视图可得，该几何体是三棱锥和三棱柱的组合体，它们的底面面积为 222(cm 2)，它们的高12均为 2 cm，故该几何体的体积 V22 22 (cm3)13 16313(2018北京西城区期末)在空间直角坐标系 Oxyz 中，四面体 ABCD 在
21、 xOy、yOz 、zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示(坐标轴用细虚线表示 )，则该四面体的体积是 _答案 43解析 由右图可知，该三棱锥 ABCD 的底面是底为 1，高为 4 的BCD，三棱锥的高为 2，故其体积 V 412 .13 12 4314.(2017衡水中学调研卷)若一个半径为 2 的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案 16解析 由三视图，可知该几何体是一个球体挖去 之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的 与14 34两个半圆面的面积之和，即 S (422)2( 22)16.34 1215.如图所示，正方体 ABCDA 1B1C
22、1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_答案 16解析 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD 1E 的体积因为 E，F 分别为 AA1，B 1C 上的点，所以正方体 ABCDA 1B1C1D1 中EDD 1 的面积为定值 ，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以12VFDD 1E 1 .13 12 1616(2017烟台模拟)某几何体的主 (正)视图与俯视图如图所示，左( 侧)视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A. B.203 43C6 D4答案 A解
23、析 由三视图可知该几何体是由棱长为 2 的正方体，挖去一个底面边长为 2 的正方形，高为 1 的正四棱锥，该几何体体积为 V2 3 221 .13 20317(2017辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_答案 11解析 由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积 V223 ( 21)311.13 1218(2018广东清远三中月考) 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为_答案 （8 ）36解析 由已知中的三视图可知，该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，他们的高均为 ，则 V ( 4) .31312 3 （8 ）36
