1、珠海市 2018-2019 学年度第一学期高三摸底考试文科数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合 A，再利用交集的定义和不等式的性质求解.【详解】 集合 ， .故选 A.【点睛】本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2.设复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法运算法则化简复数 ，再求
2、模即可得到答案.【详解】 复数 .故选 D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.3.某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖 20 元、二等奖 10 元、三等奖 5 元，参与奖 2 元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（ ）A. 获得参与奖的人数最多 B. 各个奖项中三等奖的总费用最高C. 购买奖品的费用平均数为 元 D. 购买奖品的费用中位数为 元【答案】C【解析】【分析】根据扇形统计图的特征和中位数的概念判断 A、B 和 D，根据加权平均数的的计算公式判断C，即可求得答案.【详解】设全班
3、人数为 人，由扇形统计图可知，一等奖占 5%，二等奖占 10%，三等奖占 30%，参与奖占 65%.获得参与奖的人数最多，故 A 正确；各奖项的费用：一等奖 ，二等奖 ，三等奖占 ，参与奖占，各个奖项中三等奖的总费用最高，故 B 正确；平均费用 元，故 C 错误；参与奖占 65%，所以购买奖品的费用中位数为 元，故 D 正确.故选 C.【点睛】本题为统计题，考查扇形统计图、平均数和中位数等基本统计概念.平均数、中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，根据加权平均数的计算公式就可以求出平均数，将数据先排序再取中间位置的数据即为中位数.4.双曲线 的渐近线为（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】【分析】令双曲线方程右侧为零，即可求出渐近线方程.也可以根据双曲线的定义，确定 ，即可求出渐近线方程.【详解】方法一、令双曲线方程右侧为零，即双曲线 ，整理得渐近线方程为.方法二、由题可知双曲线焦点在 轴， ， ，则渐近线方程为 .故选 A.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，考查基本知识和基本计算能力.5.数列 为等比数列，首项 ，前 项和 ，则公比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义，写出前 3 项和，解方程即可求出公比.【详解】设数列 的公比为 ，则 ， ；又 ， ，解得故选 C.【点睛】本题考查等比数列的前
5、项和与数列的通项的应用，项数较少时可直接计算各项的和，如前 3 项和 ，项数较多时常用前 项和公式计算，但要注意根据 的取值的分类讨论.6.设函数 ，则 的零点个数为A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】A【解析】试题分析： 单调递增， ，所以函数只有一个零点考点：函数零点7.如图所示，在正方体 中， 为 的中点，则图中阴影部分 在平面上的正投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正方体的结构特征，可知点 M 在平面 上的正投影是 的中点，再结合点 的投影特征，即可得到图象.【详解】由题意知，点 M 在平面 上的正投影是 的中点，点 和点 的投影是本身，连接三
6、个投影点.故选 D.【点睛】本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的结构特征，属于基础题.8.已知函数 ，则以下说法正确的是（ ）A. 的对称轴为B. 的对称中心为C. 的单调增区间为D. 的周期为【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性，判断 A、B 的正误，利用函数的单调区间判断 C，再利用函数的周期性判断 D，即可确定正确答案.【详解】对称轴： ，即对称轴为 ，故 A 错误；对称中心： ，即对称中心为 ，等价于 ，故 B正确；单调增区间： ，即递增区间为 ，故C 错误；周期性：最小正周期 ，故 D 错误.故选 B.【点睛】本题考查三角函数的基本性质，确
7、定三角函数的对称性、单调性和周期性时，一般根据三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解如果是复合函数根据“同增异减”的原则判断函数的单调性。1、函数 的单调区间的求法：（1）代换法若 ，把 看作是一个整体，由 ，求得函数的减区间， ， ，求得增区间；若 ，则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；（2）图象法画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.2、函数 的对称轴与对称中心的求法：（1）对称轴：由 ，求得对称轴；（2）对称中心：由 ，即可求得对称中心.9.圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
8、【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.【详解】 圆锥的轴截面是边长为 的正三角形 ，圆锥的底面半径 ，母线长 ；表面积故选 C.【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.10.如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得： ， ， ， ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得 ， ，为 的中点， 为 的中点，则 ，又 .故选 D.【点睛
9、】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和） ；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 11.如图所示，已知四棱锥 的高为 ，底面 为正方形， 且，则四棱锥 外接球的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知，四棱锥 为正四棱锥，外接球的球心 在四棱锥的高 上，根据已知条件，求出 ，在
10、中即可求出外接球半径.【详解】由已知，四棱锥 为正四棱锥，设外接球半径为连接 、 交于点 ，连接 ，外接球的球心 在高 上，连接 ，则四棱锥 的高为 ， ，即， ，又 为直角三角形，即 ，解得 .故选 B.【点睛】本题考查棱锥外接球的计算，考查正四棱锥的特征，考查推理能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想.12.设函数 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知， 为偶函数，再求得 在 上连续且单调递增，由 ，转化得 ，解不等式即可求出解集.【详解】 为偶函数，当 时， ， ，且均为增函数在 上连续且单调递增，在 上连续且单调递减，不等
11、式 等价于 ，解得 ，解集为故选 D.【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性解不等式问题，考查学生转化思想和运算能力，有一定难度.已知函数的单调性和奇偶性，解形如 的不等式的解法如下：奇偶性 单调性 转化不等式区间上单调递增奇函数区间上单调递减对称区间上左减右增偶函数对称区间上左增右减简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题，第 II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分请将正确的答案写在答题卡上13.函数 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求函数 的导数，计算 和 ，由点斜式确定直线方程即可.【详解】 函数 ， ，切线斜率
12、，又 ，切线方程为 .故答案为 .【点睛】点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：（1）点 在曲线上，在点 处的切线方程求导数 ；切线斜率 ；切线方程 .（2）点 在曲线上，过点 处的切线方程设切点 ；求导数 ；切线斜率 ；切线方程 ；将点 代入直线方程求得 ；确定切线方程.（3）点 在曲线外，步骤同（2）.14.已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 _【答案】【解析】,，故答案为 .【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：； ； ；此外，需注意裂项之后
13、相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.15.已知圆 的方程为 ，点 为圆 内的一点，过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，当 最小时，直线 的方程为_【答案】 （方程的其他形式同样得分）【解析】【分析】点 在圆 的内部，故当直线 与直线 垂直时，弦长 最小，由此可求出直线 的方程.【详解】 ， 点 在圆 的内部；故当直线 与直线 垂直时，弦长 最小，又 ， ，直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，整理得故答案为【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线垂直的关系，过圆内一点最短弦长所在的直线与圆心和定点所在直线垂直是解题关键.16.若 ， 满足约束条件 ，目标函数 的最小值为 ，
14、则 _【答案】 【解析】【分析】结合前两个不等式可知 ，作出可行域的大致形状，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合可知当 过区域内的点 A 时，直线在 轴上的截距最小，联立方程组求出点 坐标和 的值.【详解】作出约束条件的可行域，如图所示，结合前两个不等式可知 ；目标函数 ，转化成直线 ，当截距 取最小值目标函数对应最小值 .由图可知，当直线 过点 A 时取得最小截距.联立方程组 ，解得故答案为 1.【点睛】本题主要考查线性规划的含参问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数 型线性规划问题解题步骤（含参问题求参数也适用）：（1）确定可行区域 （2）将 转化为 ，求 z 的值，可看做求直线 ，在
15、 y 轴上截距的最值。（3）将 平移，观察截距 最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。 （4）将该点坐标代入目标函数，计算 Z。三、解答题:本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17.如图： 的三个内角 对应的三条边长分别是 ，角 为钝角， ， ，（1）求 的值；（2）求 的面积【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据余弦的二倍角公式求出 ，利用余弦定理求出 ，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得（2）由（1）可求出 ，在 中，求得 ， ，再由，即可求出面积.【详解】解：(1)由 得： ，且角 为钝角，解得： 由余弦定理 得：
16、解得 可知 为等腰三角形，即所以 ，解得 (2)由 可知在 中， ，得 ，三角形面积【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.18.如图所示，在梯形 中，四边形 为正方形， ，将 沿着线段 折起，同时将 沿着线段 折起，使得 ， 两点重合为点（1）求证：
17、面 面 ；（2）求四棱锥 的体积【答案】(1)见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得 ， ，利用线面垂直的判定可得 面 ，再利用面面垂直的判定，证得面 面 （2）作 交直线 于 ，由（1）可知， 为四棱锥 的高，易得，从而求得四棱锥 的体积【详解】(1) 证明： 四边形 为正方形在当 沿着线段 折起后，仍有：， ， 又 ， 面面又 面面 面(2)解：作 交直线 于由（1）知面 面又 面 面 ， 面面面为四棱锥 的高在 中， ， ，由余弦定理可得 ，在 中有，【点睛】本题考查面面垂直的判定和棱锥体积的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力以及计算能力.1、面面垂直常用证明方法：（1）定义
18、法：两个平面的二面角是直二面角；（2）面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（3）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。2、棱锥体积计算方法：（1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求.（2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥） ，主要从两个方面考虑：一是等体积棱锥图形的转化；另一是各种距离之间的转化，此类问题的主要特征是：在题目给出的空间图形中，已知或能求出所求棱锥的一对对棱的
19、长度、所成角和距离.19.南方智运汽车公司在我市推出了共享汽车“Warmcar”,有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中一种租用方式“分时计费”规则为：0.15 元/分钟+0.8 元/公里已知小李家离上班地点为 10 公里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车、及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间 （分钟）是一个随机变量，现统计了 100 次路上开车花费时间，在各时间段内是频数分布情况如下表所示：时间 （分钟）频数 2 6 14 36 28 10 4（1）写出小李上班一次租车费用 （元）与用车时间 （分钟）的函数关系；（2）根据上面表格估计小李平均每次租车费用；（3） “众泰云”新能源
20、汽车还有一种租用方式为“按月计费” ，规则为每个月收取租金 2350元，若小李每个月上班时间平均按 21 天计算，在不计电费和情况下，请你为小李选择一种省钱的租车方式【答案】(1) （元）(2) 元(3) 分时计费【解析】【分析】（1）根据题意，上班一次租车费包括路程费用和时间费用两部分，从而写出函数关系；（2）利用加权平均数计算平均每次租车时间，代入（1）中的解析式，即可求出答案；（3）根据租车次数和每次的平均费用计算“分时计费”的月费用，与“按月计费”比较，即可确定租车方案.【详解】解：(1) （元）(2) 平均每次用车时间为：（分钟）平均一次租车费用 （元）(3) 租用方式为“分时计费”
21、一个月总费用为 元因为 元所以，对小李租车仅用于上下班的情况，采用“分时计费”更省钱【点睛】本题考查函数模型的应用、平均数的计算与应用，考查学生计算能力和利用基本知识解决实际问题的能力.20.设椭圆 ，离心率 ，短轴 ，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为 ，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为 ， 为抛物线上第一象限内的点， 为椭圆是一点，且有 ，当线段 的中点在 轴上时，求直线 的方程【答案】(1) ， (2) 【解析】【分析】（1）根据 和 ，代入 ，求出 ，即可求出椭圆方程；再根据已知条件得抛物线焦点在的参数 轴，且 ，从而求出抛物线方程；（2）根据题意，设直线 和 的
22、方程，与曲线联立求出点 和点 的坐标，根据线段 的中点在 轴上，即可求出直线 的方程.【详解】(1) 由 得 ，又有 ，代入 ，解得 所以椭圆方程为 由抛物线的焦点为 得，抛物线焦点在的参数 轴，且 ，抛物线的方程为： (2)由题意点 位于第一象限，可知直线 的斜率一定存在且大于设直线 方程为： ，联立方程 得： ，可知点 的横坐标 ，即因为 ，可设直线 方程为：连立方程 得： ，从而得若线段 的中点在 轴上，可知 ，即有 ，且 ，解得 从而得 ， 直线 的方程：【点睛】本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线与圆锥曲线综合问题，解题的关键是线段中点在 轴上等价于两点横坐标互为相反数，考查学生
23、转化能力和计算能力，解题是要注意圆锥曲线焦点所在位置.21.已知定义域为 函数 有极值点.（1）求实数 的取值范围；（2）若 为 的极小值点，求证：【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）根据函数 的定义域为 ，确定 ，再根据函数存在极值的充要条件：存在 ，且为变号零点，转化成一元二次方程有两个不相等的实数根，即可求出实数 的取值范围；（2）由（1）可知 ， ，设 ，利用导数判断函数的单调性，即可证明问题.【详解】解：(1) 由 定义域为 ，可知，有极值点的必要条件是 有根，即 有实根若 有两个相等的实根，则 可知此时没有极值点；所以 有两个不等的实根，即 ，得 且两根为 ， ，可知
24、：当 时当 或 时可知 为 极大值点， 为 极小值点所以当 满足题设条件 (2)由(1)知 ，也即为 由 ，且 ，得设 ，则 ，所以 在 为增函数所以 ，即即 成立【点睛】本题考查导数知识的应用，函数存在极值的条件，以及利用构造函数法和导数研究函数的单调性和最值，考查计算能力、转化思想和基本知识掌握的准确度.选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，圆 的方程为： ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的直线 过点（1）求圆 和直线 的极坐标方程；（2）若直线 绕极点按逆时针方向旋转 得 ，求 被圆截得的
25、弦长.【答案】(1) (2)4【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的转换公式，写出圆 的极坐标方程，再根据点 确定直线倾斜角 ，从而求出直线 的极坐标方程；（2）由题可知，直线 的方程为 ，设点 的极坐标，联立方程组化简得 ，由韦达定理及其变换即可求出 的值.【详解】解：(1) 由 得圆 的极坐标方程 圆 的圆心直角坐标系的坐标为，所以直线 的方程为(2) 由题意可知直线 的方程为 设圆 与 的交点为 ，得： 则被圆截得的弦长为 4【点睛】本题考查极坐标和直角坐标互化，考查求过已知点的直线极坐标方程的方法，考查在极坐标下求解问题的方法，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
26、选修 45：不等式选讲23.已知（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） 或 （2） 或【解析】【分析】（1）根据零点分段法去掉函数 的绝对值符号，分段化简不等式求解即可.（2）将不等式转化为 ，利用三角不等式得 ，解不等式即可求出 的取值范围.【详解】解：（1）由题意得当 时，不等式化为 ，得 当 时，不等式化为 ，得当 时，不等式化为 ，得 综上所述所求解集为 或 （2）不等式 即：可化为 因为 要不等式 恒成立，只 成立即可解得 或【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和含参不等式恒成立问题的求解方法.含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如 ） ；（4）图象法或数形结合法；
