1、高考大题专项一 函数与导数的综合 压轴大题突破 1 利用导数求极值、最值、参数范围1.已知函数 f(x)=(x-k)ex.(1)求 f(x)的单调区间 ;(2)求 f(x)在区间 0,1上的最小值.2.(2018 山东潍坊一模,21)已知函数 f(x)=aln x+x2.(1)若 a=-2,判断 f(x)在(1, +)上的单调性;(2)求函数 f(x)在 1,e上的最小值.3.(2018 山东师大附中一模,21)已知函数 f(x)=(x-a)ex(aR) .(1)当 a=2 时,求函数 f(x)在 x=0 处的切线方程;(2)求 f(x)在区间 1,2上的最小值.4.(2018 辽宁抚顺 3
2、月模拟,21 改编) 已知函数 f(x)=ax-2ln x(aR ).若 f(x)+x30 对任意 x(1, +)恒成立,求 a 的取值范围.5.设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x-2 时,f(x)kg(x ),求 k 的取值范围.6.(2018 江西南昌一模,21 改编 )已知函数 f(x)=ex-aln x-e(a R),其中 e 为自然对数的底数.若当x1,+) 时,f(x )0 恒成立,求 a 的取值范围.突破
3、2 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018 全国 3,文 21)已知函数 f(x)= .2+-1(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时,f( x)+e0.2.(2018 河北保定一模,21 改编 )已知函数 f(x)=x+.设函数 g(x)=ln x+1.证明:当 x(0,+ )且 a0 时,f(x)g(x).3.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00,求 a 的取值范围.4.(2018 安徽芜湖期末,21 改编 )已知函数 f(x)=x3-aln x(a R).若函数 y=f(x)在区间(1,e 上
4、存在两个不同零点,求实数 a 的取值范围.5.设函数 f(x)=e2x-aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数;(2)证明:当 a0 时,f( x)2a+aln.6.(2018 衡水中学押题三,21)已知函数 f(x)=ex-x2+a,xR ,曲线 y=f(x)的图像在点(0,f(0)处的切线方程为 y=bx.(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)当 xR 时,求证:f(x )-x 2+x;(3)若 f(x)kx 对任意的 x(0,+) 恒成立,求实数 k 的取值范围 .高考大题专项一 函数与导数的综合 压轴大题突破 1 利用导数求极值、最值、参数范围1.解 (1)由
5、题意知 f(x)=(x-k+1)ex.令 f(x)=0,得 x=k-1.当 x(-,k- 1)时,f(x )0.所以 f(x)的递减区间是(-,k-1),递增区间是( k-1,+).(2)当 k-10,即 k1 时,f(x) 在0,1上递增,所以 f(x)在区间0,1 上的最小值为 f(0)=-k;当 00, f(x)在(1,+)递增.(2)f(x)=2x+ ,当 a0 时 f(x)0,f(x)在1,e 上递增, fmin(x)=f(1)=1.=22+当 a0,f(x)递增,-2 fmin(x)=f(1)=1.若 10,即 a-x2+ 对任意 x(1,+) 恒成立,2记 p(x)=-x2+ ,
6、定义域为(1,+),2则 p(x)=-2x+ ,2-22 =-23+2-22设 q(x)=-2x3+2-2ln x,q(x)=-6x2- ,2则当 x1 时,q(x)递减,所以当 x1 时,q( x)1 时,p( x)0.即 F(x)在( -2,x1)递减,在(x 1,+)递增.故 F(x)在 -2,+)的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2)0.21故当 x-2 时,F(x)0,即 f(x) kg(x)恒成立. 若 k=e2,则 F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当 x-2 时 ,F(x)0,即 F(x)在( -2,+)递增.而 F
7、(-2)=0,故当 x-2 时,F (x)0,即 f(x)kg(x) 恒成立. 若 ke2,则 F(-2)= -2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0,f(x)在 x1,+)上递增,f(x) min=f(1)=0(合题意) .当 a0 时,f( x)=ex- ,当 x1,+) 时,y=e xe . 当 a(0,e时,因为 x1, +),所以 y= e,f(x )=ex- 0, f(x)在1,+)上递增,f(x )min=f(1)=0(合题意). 当 a(e, +)时,存在 x01,+),满足 f(x)=ex- =0,f(x)在 x01, x0)上递减,在(x 0,+)上递增,故 f(x0)-
8、1 时,g( x)0,g(x)递增; 所以 g(x)g(- 1)=0.因此 f(x)+e0.2.证明 令 h(x)=f(x)-g(x)=x+-ln x-1(x0),h(x)=1- ,21=2-2设 p(x)=x2-x-a=0,函数 p(x)的图像的对称轴为 x= .12 p(1)=1-1-a=-a1,由对称性知,p(x)=0 的另一根小于 0,且 -x0-a=0,20h(x)在(0,x 0)上是减少的,在(x 0,+)上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+ -ln x0-1=x0+ -ln x0-1=2x0-ln x0-2.0 20-00令 F(x)=2x-ln x-2(x1),F(x
9、)=2- 0 恒成立,1=2-1所以 F(x)在(1, +)上是增加的. F(1)=2-0-2=0, F(x)0,即 h(x)min0,所以,当 x(0, +)时,f(x )g(x).3.解法 1 函数 f(x)的定义域为 R,当 a=0 时,f (x)=-3x2+1,有两个零点 ,33原函数草图 a=0 不合题意;当 a0 时,当 x- 时,f(x ) -,f(0)=1, f(x)存在小于 0 的零点 x0,不合题意;当 a0;(2,0)在区间(0,+) 内 f(x)0f(x)min=f 0 +10 4.(2) 82122 42 a0,当 t1 或 t0,函数在( ,e上递增;3 3则 g(
10、x)min=g( )=3e,而 g( )= =27 27,且 g(e)=e30).当 a0 时,f (x)0,f(x)没有零点,当 a0 时,因为 e2x 递增,- 递增 ,所以 f(x)在(0,+)递增.又 f(a)0,当 b 满足 00 时,f(x)存在唯一零点 .(2)证明 由(1),可设 f(x)在(0,+ )的唯一零点为 x0,当 x(0,x 0)时,f(x) 0.故 f(x)在(0,x 0)递减,在(x 0,+)递增,所以当 x=x0 时,f (x)取得最小值,最小值为 f(x0).由于 2 =0,200所以 f(x0)= +2ax0+aln 2a+aln .20 2 2故当 a0
11、 时,f(x)2a+aln .26.(1)解 根据题意,得 f(x)=ex-2x,则 f(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入 y=f(x),得 a=-1,故 f(x)=ex-x2-1.(2)证明 令 g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1.由 g(x)=ex-1=0,得 x=0,当 x(-,0)时,g( x)0,y=g(x)递增.所以 g(x)min=g(0)=0,所以 f(x)-x 2+x.(3)解 f(x)kx 对任意的 x(0, +)恒成立等价于 k 对任意的 x(0, +)恒成立.()令 (x)= ,x0,()得 (x)= .()-()2 =(-2)-(-2-1)2 =(-1)(-1)2由(2)可知,当 x(0,+)时,e x-x-10 恒成立,令 (x)0,得 x1;令 (x)0,得 0x1.所以 y=(x)的递增区间为(1,+ ),递减区间为(0,1),故 (x)min=(1)=e-2,所以 k(x)min=e-2.所以实数 k 的取值范围为( -,e-2).
