1、课时规范练 44 椭圆基础巩固组1.椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则24|PF2|=( )A. B.32C. D.432.设椭圆 E: =1(ab0)的右顶点为 A,右焦点为 F,B 为椭圆在第二象限内的点,直线 BO 交椭22+22圆于点 C,O 为原点,若直线 BF 平分线段 AC,则椭圆的离心率为 ( )A. B.C. D.3.设 F1,F2 是椭圆 =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1| |PF2|=4 3,则PF 1F2 的面积为( )249+224A.30 B.25 C.24 D.404.已
2、知椭圆 C: =1,若直线 l 经过 M(0,1),与椭圆交于 A,B 两点,且 =- ,则直线 l 的方程为29+25 23( )A.y=x+1B.y=x+1C.y=x+1D.y=x+15.已知椭圆 =1(ab0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,22+22且F 1AB 的面积为 ,点 P 为椭圆上的任意一点,则 的取值范围为( )2- 32 1|1|+ 1|2|A. 1,22B. 2, 3C. ,42D.1,46.直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1,P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1(k10),直线 OP
3、22的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 . 7.(2018 辽阳模拟,15)设 F1,F2 分别是椭圆 =1 的左右焦点 ,P 为椭圆上任意一点,点 M 的坐标225+216为(6,4),则|PM|+|PF 1|的最大值为 . 综合提升组8.已知椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F1(-2,0),过点 F1 作倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=b2 相交22+22的弦长为 b,则椭圆的标准方程为( )3A. =1 B. =128+24 28+24C. =1 D. =1216+212 216+2129.(2018 湖南长沙一模,10)已知椭圆 E: =1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端
4、点为 M,直线22+22l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|= 6,点 M 与直线 l 的距离不小于,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A. 0, B. 0,223 53C. ,1 D. ,163 22310.已知椭圆 C: =1 的左右两焦点分别为 F1,F2,ABC 为椭圆的内接三角形,已知 A ,24+23 23,263且满足 =0,则直线 BC 的方程为 . 2+2+211.已知椭圆 =1(ab0)短轴的端点 P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为 M,AB 为经过椭圆中心22+22且不在坐标轴上的一条弦,若 PA,PB 的斜率之积等于-,
5、则 P 到直线 QM 的距离为 . 12.(2018 河南开封二模,20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,点 M(2,1)在椭圆 C 上.22+22 32(1)求椭圆 C 的方程.(2)直线 l 平行于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点.若AOB 为钝角,求直线 l 在 y 轴上的截距m 的取值范围.13.(2018 河南郑州一模,20)如图,已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F2(1,0),点 H 2, 在椭22+22 2103圆上.(1)求椭圆的方程.(2)点 M 在圆 x2+y2=b2 上,且 M 在第一象限,过点 M 作圆 x2+y2=b2 的切线交椭圆于
6、P,Q 两点,求证:PF2Q 的周长是定值 .14.已知动点 M(x,y)满足: =2 ,(+1)2+2+(-1)2+2 2(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程 ;(2)设 A,B 是轨迹 E 上的两个动点,线段 AB 的中点 N 在直线 l:x=-上,线段 AB 的中垂线与 E 交于 P,Q两点,是否存在点 N,使以 PQ 为直径的圆经过点(1, 0), 若存在 ,求出 N 点坐标,若不存在,请说明理由.创新应用组15.(2018 江西南昌高三月考,20)已知椭圆 =1(ab0)的顶点坐标分别为 A1(-2,0),A2(2,0),且对22+22于椭圆上任意一点 M(异于 A1,A2),直线
7、MA1 与直线 MA2 斜率之积为-.(1)求椭圆的方程;(2)如图,点 P -1, 是该椭圆内一点,四边形 ABCD(ABCD)的对角线 AC 与 BD 交于点 P.设直线AB:y=x+m,记 g(m)=S2PAB.求 f(m)=g(m)- m3+4m-3 的最大值.16.(2018 浙江杭州二中高三月考 ,21)如图,焦点在 x 轴上的椭圆 C1 与焦点在 y 轴上的椭圆 C2 都过点M(0,1),中心都在坐标原点,且椭圆 C1 与 C2 的离心率均为 .32(1)求椭圆 C1 与椭圆 C2 的标准方程;(2)过点 M 的互相垂直的两直线分别与 C1,C2 交于点 A,B(点 A,B 不同
8、于点 M),当MAB 的面积取最大值时,求两直线 MA,MB 斜率的比值.课时规范练 44 椭圆1.A a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= ,不妨设 P 在 x 轴上方 ,则 F1(- ,0),设 P(- ,m)(m0),则3 3 3+m2=1,解得 m=,所以|PF 1|=,根据椭圆定义:|PF 1|+|PF2|=2a,所以|PF 2|=2a-|PF1|=22- .(- 3)24 12=722. B 如图,设 AC 中点为 M,连接 OM,则 OM 为ABC 的中位线,易得OFMAFB,且,即 ,可得 e= .|=|=12 -=12 =133.C 因为|PF 1|+|PF2|=1
9、4,又|PF 1| |PF2|=4 3,所以|PF 1|=8,|PF2|=6.因为|F 1F2|=10,所以 PF1PF 2.所以 |PF1|PF2|=86=24.12=124.B 设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 l 的方程为 y=kx+1.因为 =- ,所以 2x2=-3x1,y=kx+1 与 =1,得(5 +9k2)x2+18kx-36=0,23 29+25则1+2=- 185+92,12= -365+92,22=-31, 解得 k= ,即所求直线方程为 y= x+1.13 135.D 由题意得椭圆 =1(ab0)的短轴长为 2b=2,b=1, (a-
10、c)b= ,解得 a-c=2-22+22 1=12 2- 32, a=2,c= ,3 3|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF 1|=x,则|PF 2|=4-x,xa-c ,a+c,即 x2 - ,2+ , 1,4,故选 D.3 31|1|+ 1|2|=1+ 14-= 44-(-2)26.- 由点差法可求出 k1=- ,12中中所以 k1 =- ,即 k1k2=- .中中 12 127.15 椭圆 =1 中,a=5,b=4,所以 c=3,焦点坐标 F1(-3,0),F2(3,0),根据椭圆的定义得225+216|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2
11、|),因为|PM|-|PF 2|MF 2|,当且仅当 P 在 MF2 上时取等号,所以点 P 与图中的 P0 重合时, =5,此时|PM|+|PF 1|(|-|2|)=(6-3)2+(4-0)2的最大值为 10+5=15.8.B 由左焦点为 F1(-2,0),可得 c=2,即 a2-b2=4,过点 F1 作倾斜角为 30的直线的方程为 y= (x+2),圆33心(0,0)到直线的距离 d= =1,由直线与圆 x2+y2=b2 相交的弦长为 b,可得 2 b,解得233+9 3 2-1=3b=2,a=2 ,2则椭圆方程为 =1,故选 B.28+249. B 可设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,B
12、F,根据椭圆的对称性可得四边形 AFBF是平行四边形, 6=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a, a=3,取 M(0,b), 点 M 到直线 l 的距离不小于 , ,85 |4|32+4285解得 b2,e 2= e , 椭圆 E 的离心率的取值范围是 0, ,故选 B.9-29 59 53 5310.y= x- 根据椭圆方程及椭圆中 a,b,c 的关系,可得 F2(1,0).761627632设 B(x1,y1),C(x2,y2),因为 =0,代入坐标得2+2+2- +(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).13,263又因为 B,C 在椭圆上,所以-13+2+1-2=
13、0,263+2+1=0,214+213=1,224+223=1,解方程组,得1=414+2118 ,2=-414-2118 ,1=721-263236 ,2=-721+263236 ,所以 B ,C - ,- .414+2118 ,721-263236 414-2118 721+263236所以解得 BC 的方程为 y= x- .76162763211. b 或 a 不妨设点 A 的坐标为( x0,y0),则点 B 坐标为(-x 0,-y0),455 255则 =- ,由于 =1,则- =- ,则 ,0-0 -0-0 14202+202 22 14 =12不妨设 M(a,0),直线 QM 方程
14、为 bx-ay-ab=0,则 P 到直线 QM 的距离为 d= b= a 或 ,则 a=2b,所以|2|2+2= 21+() 2=254=455 255 =12d= b .45512.解 (1)依题意有 解得2-2 =32,42+12=1, 2=8,2=2.故椭圆 C 的方程为 =1.28+22(2)由直线 l 平行于 OM,得直线 l 的斜率 k=kOM= ,12又 l 在 y 轴上的截距为 m,所以 l 的方程为 y= x+m.12由=12+,28+22=1,得 x2+2mx+2m2-4=0.因为直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,所以 =(2m)2-4(2m2-4)0,解得-20m20,f(k)= ,f(k)= ,8(1+31)(421+1)21+31(421+1)2-441-921+1(421+1)4令 f(k)=0, -4 -9 +1=0, ,所以当 S 最大时 , ,此时两直线 MA,MB 斜4121 21=97-98 21=97-98率的比值 =- .1221=9- 978
