1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示,新知探求 素养养成,知识点一,已知在单位正交基底i,j,k下,向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 问题:向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的?,空间向量运算的坐标表示,答案:a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).,梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a+b= ; a-b= ; a=(a1,a2,a3)(R); ab= ;
2、aba1=b1,a2=b2,a3=b3(R); ab .,(a1+b1,a2+b2,a3+b3),(a1-b1,a2-b2,a3-b3),a1b1+a2b2+a3b3,a1b1+a2b2+a3b3=0,知识点二,空间向量夹角和距离的坐标计算公式,梳理 (1)夹角公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos= .,题型一,空间向量的坐标运算,课堂探究 素养提升,方法技巧,题型二,利用向量解决平行与垂直问题,(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.,一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.,
3、解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k), 因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=(a+kb)(R), 即(k-1,k,2)=(1-k,1,2k),方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:适当引入参数(比如
4、向量a,b平行,可设a=b),建立关于参数的方程;选择坐标形式,以达到简化运算的目的.,题型三 利用向量的坐标形式求夹角与距离,方法技巧 (1)求空间中两向量夹角的方法 基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的范围0,要特别关注向量共线的情况. (2)求空间中线段的长 建立恰当的空间直角坐标系;求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.,答案:(1)B,(2)正
5、方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|= 3|NC1|,则MN的长为 .,解析:(2)如图,以D为顶点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,4),B(4,4,0), C1(0,4,4),D1(0,0,4). 因为M为BD1的中点,所以M(2,2,2), 因为N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,题型四,易错辨析由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制条件而致误,纠错:解答本题易出现的失误是忽视了ab0包含a与b夹角为180的情况,即a与b的夹角为钝角不等价于ab0.,谢谢观赏！,
