1、立体几何体的表面积和体积 1一 【要点归纳】1多面体的面积和体积公式表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径二 【典例解析】题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的
2、关系。例 2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=5，AD=4，AA 1=3，ABAD，A 1AB=A 1AD= 。3（1）求证：顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体对角线的长是（ ）6,3A2 B3 C6 D2点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1、V 2的两部分，那么 V1V
3、2= _ _。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型 3：锥体的体积和表面积例 5一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).名称 侧面积(S 侧 ) 全面积(S 全 ) 体 积(V)棱柱 直截面周长l S 底 h=S 直截面 h棱柱 直棱柱chS 侧 +2S 底S 底 h棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 (c+c)h S 侧 +S 上底 +S 下底h(S 上底 +S 下底 +)下 底下 底 S名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2
4、rl rl (r 1+r2)lS 全 2r(l+r) r(l+r) (r 1+r2)l+(r 21+r22) 4R 2V r 2h(即 r 2l) r 2h31h(r 21+r1r2+r22)3R 342 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 立体几何体的表面积和体积 2DBAOCEFA.23 B. 423 C. 23 D. 234【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.例 6、设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于
5、47，则球 O 的表面积等于 例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 GC2，求点 B 到平面 EFC 的距离？点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点，EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8已知三个球的半径 1R， 2， 3满足 321R，则它们的表面积 1S，2S， 3，满足的等量关系是_. 例 11如图所示，球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=
6、PB=PC=a，求这个球的表面积。点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= a,下略23题型 4：球的面积、体积综合问题例 9 （1）表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积。3414（2）正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球，求球O1的体积。题型 5：球面距离问题例 10在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上 两点的劣弧长为 （ 为地球半径） ，求 两4,AB,AB24R,AB点间的球面距离点评：要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离立体几何体的表面积和体积 2
