1、第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用,第2章 2.2.3 等差数列的前n项和,学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系,思考 在等差数列an中，若a32，求S5.,知识点二 等差数列前n项和的最值,答案 由二次函数的性质可以得出：当a10时，Sn先减后增，有最小值；当a10，d0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.,梳理 等差数列前n项和的最值与Sn的单调性有关： (1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负
2、项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值. (3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值；若a10，d0，则Sn是递减数列，S1是Sn的最大值.,思考辨析 判断正误 1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( ),题型探究,例1 (1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；,类型一 等差数列前n项和的性质的应用,解答,解 方法一 在等差数列中， Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列， 30,70，S3m100成等差数列. 27030(S3m100)， S3m210.,即S3m3(S2mSm)3(10030)21
3、0.,解答,反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.,跟踪训练1 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列 的前n项和，求Tn.,解答,解 设等差数列an的公差为d， 则Snna1 n(n1)d， S77，S1575，,类型二 等差数列前n项和的最值问题,例2 在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.,解答,解 方法一 S9S17，a125，,解得d2.,(n13)2169. 当n13时，Sn有最大值169.,方法二 同方法一，求出公差d2. an25(n1)(2)
4、2n27. a1250，,又nN*，当n13时，Sn有最大值169.,方法三 同方法一，求出公差d2.S9S17， a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140. a130，a140. 当n13时，Sn有最大值169. 方法四 同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn. S9S17，当n13时，Sn取得最大值169.,反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： 若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法： 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用运用二次函数求最值.,跟踪训练2 已知在等差数列an中，a19，a
5、4a70. (1)求数列an的通项公式；,解 由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d112n.,解答,(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？,解 方法一 由(1)知，a19，d2，当n5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a19，d20，n6时，an0. 当n5时，Sn取得最大值.,解答,类型三 求数列|an|的前n项和,解答,当n2时，anSnSn1,3n104. n1也符合上式， 数列an的通项公式为an3n104(nN*).,即当n34时，an0；当n35时，an0.,(1)当n34时， Tn|a1|a2|an|a1a2an,(2)当
6、n35时， Tn|a1|a2|a34|a35|an| (a1a2a34)(a35a36an) 2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn,反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|.若原等差数列an中既有正项，也有负项，那么|an|不再是等差数列，求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值，再分段求和.,跟踪训练3 已知在等差数列an中，Sn为数列an的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.,解答,解 设等差数列an的首项为a1，公差为d，,所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*). 当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210
7、n.,当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，,达标检测,答案,1.若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则该数列的公差为_.,1,2,3,4,5,2A,答案,解析,2.若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7_.,解析 S55a325，a35， da3a2532，a7a25d31013.,1,2,3,4,5,13,答案,解析,3.设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_.,1,2,3,4,5,45,解析 a7a8a9S9S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6S3， S9S6构
8、成等差数列，所以S3(S9S6)2(S6S3)，即a7a8a9S9S62S63S32363945.,答案,1,2,3,4,5,4.已知等差数列an的前n项和为Sn，7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为_.,6,解析,又a9a5，所以d0，a10.,取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.,1,2,3,4,5,49,5.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7_.,答案,解析,1.等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：,规律与方法,2.求等差数列前n项和最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. (2)通项法：当a10，d0，3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.,
