1、2.4.2 抛物线的几何性质,第2章 2.4 抛物线,学习目标,1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？ 答案 范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0). 思考2 抛物线标准方程y22px(p0)中的参数p对抛物线开口大小有何影响？ 答案 p越大，开口越大.,梳理,x0，yR,x0，yR,xR，y0,xR，y0,x轴,y轴,(0,0),1,知
2、识点二 焦点弦,设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,知识点三 抛物线中的弦长与中点弦问题,2.已知AB是抛物线y22px(p0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：,由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1). ,y1y22y0， ,由得kAB ，即弦AB的斜率只与 和弦AB中点的 坐标有关.,p,纵,1.抛物线y2px2(p0)的对称轴为y轴.( ) 2.抛物线关于顶点对称.( ) 3.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) 4.抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同.( ),思考辨析 判断正误,题型
3、探究,类型一 由抛物线的几何性质求标准方程,解答,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_.,答案,解析,4p2,解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p).,反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质 (1)开口：由抛
4、物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,解答,跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程.,解 设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0). 因为点P到对称轴距离为6， 所以y06. 因为点P到准线距离为10，,因为点P在抛物线上，所以362ax0， ,所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.,类型二 抛物线的焦点
5、弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；,解答,解 因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25.,(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).,所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.,反思与感悟 (1)抛物线的焦半径,(2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y22px(p0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x
6、1x2即可.,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB.,类型三 与弦长、中点弦有关的问题,解答,例3 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E的方程； 解 由于抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以 1，p2， 所以抛物线E的方程为y24x.,解答,(2)求直线AB的方程.,且x1x24，y1y22. 由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，,所以直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.,反思与感悟 中点弦问题解题策略方法,跟踪训练3 已知抛物线y26x，过点P(4,
7、1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.,解答,解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y1k(x4).,当k0时，y1，显然不成立. 当k0时，624k(24k6)0. 设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,所求直线的斜率为k3， 所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.,y1y22，y1y222，,类型四 抛物线在实际生活中的应用,解答,解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角
8、坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0). 由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，,当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，,所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.,反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.,解答,跟踪训练4 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O),解 设所求抛物线的方
9、程为yax2. 设D(5，b)，则B(10，b3).,即再持续5小时到达拱桥顶.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,y24x,又抛物线开口方向为x轴负方向， 抛物线方程为y24x.,1,2,3,4,5,答案,解析,2.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是_. 解析 顶点在坐标原点， 对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x22py(p0)，x22py(p0). 由顶点到准线的距离为4，得p8， 故所求抛物线的标准方程为x216y或x216y.,x216y,3.抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,4.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_. 解析 易知抛物线的准线方程为x1， 则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4. 由抛物线的定义易得AB8.,8,1,2,3,4,5,答案,解析,1,又y24x的焦点坐标为(1,0)， 焦点到直线AB的距离为1.,规律与方法,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.,
