1、1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词,一、全称量词与全称命题,所有的,全称量词,xM,p(x),任意,成立,思考:全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么? 提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“xN,x0”.,二、存在量词与特称命题,存在一个,存在量词,x0M,p(x0),成立,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( ) (2)全称量词的含义是“
2、任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( ) (3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( ),提示:(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故说法是错误的. (2)结合全称量词和存在量词的含义知,这种说法是正确的. (3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具备“任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.全称命题及其真假的判断方法 (1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语
3、是“都”.,(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”. (3)要判断全称命题“xM,p(x)”为假命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可;要判断全称命题为真命题,必须对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.简单地说,判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”.,2.特称命题及其真假的判断方法 (1)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等. (2)要判断特称命题“x0M,p(x0)”为真命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;要判
4、断特称命题为假命题,必须说明集合M中不存在元素x0,使得p(x0)成立.简单地说,判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明”.,类型 一 全称命题的构成与真假判断 【典型例题】 1.(2013聊城高二检测)下列是全称命题且是真命题的 是( ) A.xR,x20 B.xQ,x2Q C.x0Z,x021 D.x,yR,x2+y20,2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假: (1)x2+2x+32. (2)负数都没有对数. (3)终边相同的角的正弦值相等. 【解题探究】1.全称命题的形式是什么? 2.判断全称命题真假的方法是什么?,探究提示: 1.全称命题的一般形式为“xM,p(x)”.
5、2.若某一集合存在不满足某一性质的反例,则全称命题是假命题,不存在反例,就是真命题. 【解析】1.选B.由于x=0时,x2=0,故A假;任意有理数的平方都是有理数,故B真;选项C为特称命题;由于,当x=y=0时,x2+y2=0,故D假.综上所述,选B. 2.(1)xR,x2+2x+32.x2+2x+3=(x+1)2+22.真命题. (2)所有的负数都没有对数.真命题. (3)所有终边相同的角的正弦值相等.真命题.,【拓展提升】全称命题的形式定义与真假判断 (1)全称命题的统一形式为“xM,p(x)”,表示“任意”“所有”等量词,集合M表示给定的范围,p(x)表示某一性质. (2)判断全称命题的
6、真假,可以先找反例,若找到一个反例,说明全称命题是假命题,若找不到反例,就可以尝试证明命题是真命题.,【变式训练】1.“xZ,2x+1都是奇数”是 命题(填真、假). 2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假: (1)sin2x=2sinxcosx. (2)三角形有外接圆. (3)非负实数有两个偶次方根.,【解析】1.“xZ,2x+1都是奇数”是真命题. 答案:真 2.(1)xR,sin2x=2sinxcosx.真命题. (2)任意三角形都有外接圆.真命题. (3)所有的非负实数都有两个偶次方根.假命题.,类型 二 特称命题的构成与真假判断 【典型例题】 1.特称命题“x0R, x02
7、x0”是 命题(填真、假). 2.用存在量词将下列语句写成特称命题,并判断真假: (1)2sinx0=3能成立. (2)素数也可以是偶数. (3)公比大于1的等比数列可以是递减数列.,【解题探究】1.题1中使不等式成立的未知数的范围是什么? 2.特称命题的形式是什么? 探究提示: 1.不等式化为x0(x0-1)0,即0x01,故不等式成立. 2.特称命题的一般形式为“x0M,p(x0)”.,【解析】1.由于“当0x01时,x02x0成立”,所以特称命题“x0R,x02x0”是真命题. 答案:真 2.(1)x0R,2sinx0=3.假命题. (2)有的素数是偶数.真命题. (3)存在公比大于1的
8、等比数列是递减数列.真命题.,【拓展提升】特称命题的形式定义与真假判断 (1)特称命题的统一形式为“x0M,p(x0)”,“”表示“存在”“至少有一个”等量词. (2)判断特称命题的真假,可以先找满足性质的元素,若找到一个元素,说明特称命题是真命题,若找不到,就是假命题.,【变式训练】1.“x0N,x0是奇数且是合数”是 命题(填真、假). 2.用存在量词将下列语句写成特称命题,并判断真假: (1)奇函数也可以是偶函数. (2)不是每一个四边形都有外接圆.,【解析】1.“x0N,x0是奇数且是合数”是真命题. 答案:真 2.(1)存在函数既是奇函数又是偶函数,如f(x)=0,xR,真命题. (
9、2)有的四边形没有外接圆.真命题.,类型 三 含有一个量词的命题及其综合应用 【典型例题】 1.若“x0R,x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值范围是 . 2.已知命题p:“x0R,sinx00恒成立”,若pq是真命题,求实数m的取值范围.,【解题探究】1.一元二次方程有实根的条件是什么?是否可以利用函数y=x2+2x+2的图象解答? 2.题2中p,q的真假如何? 探究提示: 1.利用关于x的一元二次方程有实根的充要条件(判别式0)解决.也可以采用数形结合的思想将题目转化为y=x2+2x+2的图象与直线y=m有公共点. 2.命题p,q都是真命题.,【解析】1.方法一:由于“x0R,
10、x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域,即m|m1. 方法二:依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解, =4-4(2-m)0,解得m1. 答案:1,+),2.由于pq是真命题,则p,q都是真命题. 因为“x0R,sinx0-1. 又因为“xR,x2+mx+10恒成立”是真命题, 所以=m2-40,解得-2m2. 综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).,【互动探究】若题2变为:已知命题p:“xR,sinxm”,命题q:“x0R,x02+mx0+10”,若pq是真命题,如何求实数m的取值范围? 【解题指南】转化为正弦函数的最大值以及判
11、别式的符号解题.,【解析】由于pq是真命题,则p,q都是真命题. 因为“xR,sinx1. 又因为“x0R, x02+mx0+10”是真命题,所以 =m2-40,解得m-2或m2. 综上所述,实数m的取值范围是2,+).,【拓展提升】能成立与恒成立问题的解法 (1)若含有参数的方程能成立,求参数的取值范围一般转化为求函数的值域. (2)若含有参数的不等式f(x)m在区间D上能成立,则f(x)minm;若不等式f(x)m在区间D上能成立,则f(x)maxm.,(3)若含有参数的不等式f(x)m在区间D上恒成立,则f(x)maxm;若含有参数的不等式f(x)m在区间D上恒成立, 则f(x)minm
12、. (4)特称命题是真命题,可以转化为能成立问题,全称命题是真命题,可以转化为恒成立问题解决.,【易错误区】应用函数与方程思想时忽视变量的取值范围致误 【典例】若x0R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则实数a的取值范围是 .,【解析】依题意,若x0R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则得 a=-cos2x0-2sinx0=2sin2x0-2sinx0-1=2(sinx0- )2- , 令t=sinx0,则a=2(t- )2- ,-1t1. 由于函数a(t)在-1t 上单调递减,在 t1上单调递增, 所以当t= 时,取最小值a=- ;当t=-1时,取最大值a=3. 所以- a3.
13、故当- a3时满足条件,所以a的取值范围是- ,3. 答案:- ,3,【误区警示】,【防范措施】 重视函数与方程思想的应用 函数与方程的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解决有关求值、解方程、解不等式以及讨论参数的取值范围等问题;二是在解题中通过构造函数,把所研究的方程问题或不等式问题转化为讨论函数的有关性质问题.本例就是将方程有解的问题转化为三角函数的值域求解的,其中,通过换元法转化为二次函数在闭区间上的值域,一定要注意中间变量的取值范围.,【类题试解】若不等式t2-2at+1sinx对一切x-,及a-1,1都成立,则t的取值范围是 . 【解析】因为x-,所以sinx-1,
14、1,于是由题意可得对一切a-1,1不等式t2-2at+11恒成立. 由t2-2at+11得2ta-t20. 令f(a)=2ta-t2,则f(a)在t0时是关于a的一次函数, 当t=0时，显然f(a)0成立， 当t0时，要使f(a)0在a-1,1上恒成立，,则 即 解得t-2或t2. 故t的取值范围是t-2或t=0或t2. 答案:t-2或t=0或t2,1.下列全称命题是真命题的是( ) A.实数都有倒数 B.自然数都是正整数 C.小数都是有理数 D.无理数都是无限不循环小数 【解析】选D.由于0没有倒数,故A错误;由于0不是正整数,故B错误;由于无限不循环小数是无理数,故C错误,D正确.,2.下
15、列命题是全称命题的个数是( ) 任何实数都有平方根; 所有的素数都是奇数; 有的等差数列也是等比数列; 三角形的内角和是180. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.命题含有全称量词,而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180”,故有三个全称命题.,3.下列特称命题是假命题的是( ) A.x0R,sinx0=cosx0 B.x0R,sinx0cosx0 C.x0R,sinx0+cosx0=2 D.x0R,sinx0+cosx0=sinx0cosx0,【解析】选C.当x0= 时,sinx0=cosx0,A正确; 当x0= 时,sinx0cosx0,B正确; 由于sinx0+cos
16、x0= sin(x0+ ) ,故C错误; 令t=sinx0+cosx0= sin(x0+ ),则- t , sinx0+cosx0=sinx0cosx0,即t= ,得t2-2t-1=0, 解得t=1- ,或t=1+ (舍去).D正确.,4.特称命题“有些向量的坐标等于其终点的坐标”是命题(填“真”或“假”). 【解析】当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标等于其终点的坐标. 答案:真,5.对任意x3,xa恒成立,则实数a的取值范围是 . 【解析】对任意x3,xa恒成立,即大于3的数恒大于a,a3. 答案:(-,3,6.若存在x0R,使ax02+2x0+a0时,必须=4-4a20,解得-1a1,故0a1. 综上所述,实数a的取值范围是(-,1).,
