1、第 3 讲 点、直线、平面之间的位置关系,1平面的基本性质,公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直,线上的_都在这个平面内,公理 2：经过_的三点有且只有一个平面 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平,面,所有点,不在同一条直线上,推论 2：经过两条 直线有且只有一个平面 推论 3：经过两条 直线有且只有一个平面,公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公,共点，这些公共点的集合是 ,公理 4：平行于同一条直线的两条直线 ,定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么,2空间线、面之间的位置关系,相交,平行,一条直线,平行,相等或互补,这两个
2、角_,平行,相交,异面,无数个,只有一个,没有,没有,重合,一,1互不重合的三个平面最多可以把空间分成_个,部分(,),D,A4,B5,C7,D8,2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是,),“这两条直线没有公共点”的(A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件3下列说法不正确的是(,),A,A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形,D,B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这 些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直,4对于任意的直线 l 与平面 a，在平面 a 内必有直线 m，,使
3、m 与 l(,),C,A平行 C垂直,B相交 D互为异面直线,5若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线,上”是“这四个点在同一平面上”的(,),A,A充分非必要条件 C充要条件,B必要非充分条件 D非充分非必要条件,考点 1,共点、共线、共面问题,(1)对角线 AC、BD 是异面直线； (2)直线 EF、HG、 AC 三线共点,例 1：已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 AB、AD 的中 点，F、G 分别是边 BC、DC 的三等分点(如图 1334)，求证：图 1334,解题思路：先找出 EF、HG 的交点，再证明交点在 AC 上证明：(1)假设对角线 AC、BD 在同一平面内
4、，则 A、B、 C、D 都在平面内，这与 ABCD 是空间四边形矛盾AC、BD 是异面直线,(2)E、H 分别是 AB、AD 的中点，EH,又 F、G 分别是 BC、DC 的三等分点，FG,2BD. 3,EHFG，且 EHFG.FE 与 GH 相交设 FE 与 GH 的交点为 O，O 在 GH 上，又 GH 在平面 ADC 内，O 在平面 ADC内,同理，O 在平面 ABC 内,从而 O 在平面 ADC 与平面 ABC 的交线 AC 上,证明三线共点，可证明两直线的交点在第三条直线上，而第三条直线往往是两平面的交线,【互动探究】,1如图 1335，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线
5、A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC、BD 交于点 M，求证：点 C1、 O、M 三点共线,图 1335,证明：A1AC1C，A1A 与 C1C 确定平面 A1C. OA1C，且 A1C平面 A1C，O平面 A1C. A1C平面 BDC1O，,O平面 BDC1，即 O 在平面 A1C 与平面 BDC1 的交线上 平面 A1C平面 BDC1C1M， OC1M.C1、O、M 共线,考点 2,异面直线的判定及证明,例 2：如图 1336，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB2，BC4，AA14，点 M 是棱 D1C1 的中点试用反证法 证明直线 AB1 与 BC1 是异面直线图 1
6、336,证明：假设直线 AB1 与 BC1 都在平面上，则 A、B、B1、,C1.,因此，平面 ABB1A1、平面 BCC1B1 都与平面有不共线的三 个公共点，即平面 ABB1A1 和平面 BCC1B1 重合(都与平面重合),又长方体的相邻两个面不重合，矛盾，,于是，假设不成立所以直线 AB1 与 BC1 是异面直线,证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定,理”、“排除法”和“反证法”，其中“反证法”最为常用,【互动探究】,2如图 1337 是正方体的平面展开图，在这个正方体,中，,图 1337,BM 与 ED 平行；,CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60角； DM 与
7、BN 垂直,以上四个命题中，正确命题的序号是_.,解析：如图 1338，把正方体的平面展开图还原到原来 的正方体，显然 BM 与 ED 为异面直线，故命题不成立；而 CN 与 BE 平行，故命题不成立；利用平移转化法易判定 正确,图 1338,错源：空间作图时随心所欲，没有依据,例 3：在长方体 ABCDA1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如,图 1339，其中 P 点不在对角线 B1D1 上),图 1339,(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 lBD，应该如何作图？并,说明理由；,误解分析：没有在平面内作平行或相交关系正解：(1)连接 B1D1，在平面 A1C1 内过 P 作
8、直线 l，使 lB1D1，则 l 即为所求做的直线B1D1BD，lB1D1，lBD.(2)在平面 A1C1 内作直线 m，使直线 m 与 B1D1 相交成角，BDB1D1，直线 m 与 BD 也成角，即直线 m 为所求作的直线,解析：对于 A、B、D 均可能出现 l，故 C 是正确的,C,例 4：(2010 年江西)过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作 直线 l，使 l 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，这样的直线 l,可以作(,),D,A1 条,B2 条,C3 条,D4 条,解题思路：分两类情况考虑：直线在正方体内；直线 在正方体外解析：第一类：通过点 A 位于三条棱之
9、间的直线有一条对 角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹 角相等，有 3 条，合计 4 条故选 D.,【互动探究】,4设有三条直线 a、b、c，其中 b 和 c 是一对异面直线， 如果三条直线可确定平面的个数为 n 个，则 n 的所有可能值组 成的集合是_,解析：当 a 与 b、c 两两异面时，n0；当 a 仅与 b 或 c 共,面时，n1；当 a 与 b、c 分别共面时，n2.,1本节考查的是对公理、定义、定理的理解与应用，对符 号语言、图形语言、文字语言要熟练转换，应充分利用身边的 物体进行比划和举反例，如将教室当成正方体，就能找到很多 线面关系,2遇到异面直线的判断或证明时常通过反证法转化为共面的 判断或证明，只要排除平行和相交两种关系，则异面关系成立,0,1,2,
