1、第六节 简单的三角恒等变换,三年3考 高考指数: 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,1.利用公式变换,进行三角函数式的化简是高考考查的热点. 2.常与实际应用问题、函数等结合命题. 3.高考主要以解答题的形式进行考查.,1.半角公式,【即时应用】 (1)思考：你能用sin、cos表示 吗？ 提示：,(2)判断下列公式及其变形是否正确(请在括号中填写“”或“”),【解析】根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错; 等号右边分子上应该是“-”，故错； 等号右边分子上应该是“
2、-”，可以化简验证，故错. 答案： ,(3)填空：cos215-sin215=_. 2sin215-1=_. 【解析】cos215-sin215=cos30= 2sin215-1=-cos30= 答案：,2.形如asinx+bcosx的式子的化简 asinx+bcosx=_ (其中 ),【即时应用】 (1)把下列三角函数式化成 的形式 =_; sin+cos=_; 5sin+12cos=_. (2)计算： =_.,【解析】(1)(其中tan= ). (2)原式=,答案：(1) 13sin(+)(其中tan= ) (2),三角函数式的求值 【方法点睛】 三角函数式求值的类型和思路 (1)三角函数
3、式求值的类型 三角函数式求值分为直接求值和条件求值, 直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值.,条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围. (2)条件求值的一般思路 先化简所求式子或所给条件; 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); 将已知条件代入所求式子,化简求值.,【例1】求下列三角函数式的值 (1) (2)若cos(+)= ,cos(-)= ,则tantan=_. (3)已知 则,【解题指南】(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；(2)利用两角和、差的余弦公式展开求
4、coscos,sinsin，相除得结果；(3)根据已知条件求出tan，把所给的三角函数式变形，代入tan即可.,【规范解答】(1)原式,(2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+sinsin= 由解得coscos= ,sinsin= 则tantan=,(3)由 得tan= 于是答案：(1)1,【互动探究】把本例(2)中的“cos(+)= cos(-)= ” 改为“sin(+)= sin(-)= ”,如何求 ？ 【解析】因为sin(+)=sincos+cossin= sin(-)=sincos-cossin= 两式相加得sincos= 两式相减得cossin=
5、 即得,【反思感悟】三角函数式求值问题的注意点 (1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐. (2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围.,【变式备选】已知 求 的值.,【解析】又故可知,从而cos2=,三角函数式的化简 【方法点睛】 三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.,(2)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角. 【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用，特别是“
6、1”的代换经常用到.,【例2】化简 【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要注意的范围.,【规范解答】1+sin=原式= (,2), 当 ,即 时，原式=,当 即 时，原式= (其中tan=2),原式=,【反思感悟】本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为是欲擒故纵原则.一般地有,【变式训练】化简 【解析】原式=,【变式备选】化简：,【解析】方法一:原式=,方法二：原式=,三角恒等式的证明 【方法点睛】 三角恒等式证明的方法及切入点 (1)证明恒等式的方法： 从左到右；从右到左； 从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.,(2)三角恒等式证
7、明的切入点： 看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化; 看函数:统一函数,向结果中的函数转化.,【例3】证明：(1) (2) 【解题指南】(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导； (2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意“1”的代换.,【规范解答】(1)左边=cos2x=右边，原题得证. (2)左边=右边，原题得证.,【互动探究】把本例(2)中等号左边改为“ ”,右边不变，试证明. 【证明】左边=右边. 所以原等式成立.,【反思感悟】1.三角函数式的化简与证明的类型及思路 (1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； (2)对三角的分式，基本
8、思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值； (3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.,2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”，“复角化单角”、“复角化复角”等具体手段.,【变式备选】若tan2=2tan2+1，求证：sin2=2sin2-1. 【证明】由已知得 即 即 即sin2-sin2sin2=sin2+1-sin2-sin2sin2. sin2=2sin2-1，即等式成立.,的应用 【方法点睛】 三角函数性质的讨论 (1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asin+
9、bcos=(其中tan= )的形式去讨论.这样的变形， 主要是角的确定.,(2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简洁 的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是 恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从 而影响函数的值域和周期等性质. 【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当为特殊角 即 的值为1或 时要熟练掌握.对是非特殊角时,只要 求会求最值即可.,【例4】(2012韶关模拟)已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x (xR). (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)若为锐角,且 ,求tan2的值. 【解题指南】(1)先把f(
10、x)化成Asin(x+)的形式,再求最小正 周期和最大值.(2)由f(x)及 求出cos2、sin2,即 可求tan2.,【规范解答】(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x =sin2x+cos2xf(x)的最小正周期为 最大值为,(2) cos2= 为锐角,即0 02. sin2= tan2=,【反思感悟】此题第(1)问主要是通过正确的恒等变形， 化成y=Asin(x+)的形式，而第(2)问由值求值要注意角的范围，避免产生增根.,【变式训练】已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在 上的值域.,【解析】(1)f(x)的最小正周期T=,(2)所以f
11、(x)在 上的值域为,【满分指导】三角函数性质综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011四川高考)已知函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(-)= ,cos(+)= 0 求证：f()2-2=0.,【解题指南】(1)把f(x)化成Asin(x+)的形式； (2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=0，结合0 可得= 从而问题得证.,【规范解答】(1)f(x)=3分 f(x)的最小正周期T=2，f(x)的最小值为-2.5分,(2)由已知得两式相加得2coscos=0.8分f()2-2= 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结
12、，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011大纲版全国卷)已知 则 tan2=_. 【解析】由 得答案：,2.(2011重庆高考)已知sin= 且 则的值为_.,【解析】由题意知sin-cos= 两边平方可得sin2= 所以(sin+cos)2=1+sin2= 又 所以sin+cos=答案：,3.(2011天津高考)已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)设 若 =2cos2,求的大小.,【解析】(1)由 所以x 所以f(x)的定义域为 f(x)的最小正周期为,(2)由 得 即 整理得 因为 所以sin+cos0, 因此(cos-sin)2= 即sin2= 因为 所以=,
