1、第十五章,选考内容,参数方程及其应用,第82讲,【例1】在曲线C1： (为参数)上求一点，使它到直线 l: (t为参数)的距离最小，并求出该点的坐标和最小距离.,参数方程与普通方程互化,【解析】直线 l 的直角坐标方程为x+y+ -1=0.设P(1+cos , sin), 0 , 2)，则,所以，当 时，即= 时，dmin=1, 此时P .,点评,曲线C1的直角坐标方程为圆: (x -1)2+y2=1，利用圆的参数方程可以使圆上的坐标变得简单.本题也可以利用圆的几何性质求解.,【解析】因椭圆 +y2=1的参数方程为(为参数),故可设动点 P 的坐标为(3cos , sin)，其中02. 因此，
2、 . 所以，当= 时，S取最大值2.,直线参数方程标准式的应用,【例2】已知直线 l 过点P(1 , 5),且倾斜角为 ,求:(1)直线 l 的参数方程；(2)若直线 l 与直线 l：x+y -1=0 相交，求交点到定点 P(1，5)的距离；(3)若直线 l 与圆 x2+y2=16 交于A、B两点，求 A、B 两点到定点 P 的距离之和及|AB|.,【解析】(1) (t为参数) (*)；(2)将(*)式代入直线 l：x+y -1=0中, 得 ，解得 t= .所以交点到定点P的距离为 .,点评,本题(2)求直线 l 与直线 l的交点到定点 P 的距离，可根据参数 t 的几何意义，即只要求出交点对
3、应的参数 t 的绝对值；(3)要求A、B两点到定点P的距离之和，由参数的几何意义，即只要求 |tA|+|tB|, 求|AB|即求出 |tA - tB|, 这要利用韦达定理和直线的参数方程中 t 的几何意义.因此，韦达定理是解决直线和二次曲线问题常用的方法.,【变式练习2】设直线 (t为参数)与抛物线 y2=4x 交于两个不同点P、Q，已知点A(2 , 4)，求：(1)AP+AQ的值；(2)线段PQ的长度.,参数方程与极坐标方程的综合应用,点评,解决参数方程与极坐标方程的通解通法是将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，也即由陌生向熟悉转化，进而在熟悉的环境中解决问题,4. 已知过点
4、P0(-1 , 2)的直线 l 的参数方 程是 (t为参数)，求点P0到直线 l 与另一直线 2x -y+1=0 的交点P的距离.,【解析】因为 ,所以此直线的参数方程不是标准式.令 t= -5t, 将直线的参数方程化为标准式得 (t为参数)，将其代入方程 2x -y+1=0,得 ,故得交点P对应的参数 , 所以 .,5.已知直线 l 的参数方程为 (t为参数), P是椭圆 上任意一点， 求点P到直线 l 的距离的最大值.,【解析】 直线 l 的参数方程为 (t为参 数),故直线 l 的普通方程为 x+2y=0.因为P为椭圆 上任意一点，故可设P(2cos , sin)，其中R.,因此，点P到
5、直线 l 的距离是.所以，当= ，kZ时，d 取得 最大值 .,1.选取参数时的一般原则是：(1)x , y与参数的关系较明显，并能列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一地确定 x、y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数.此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.,2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x , y); (2)选取适当的参数; (3)找出 x、y 与参数的关系，列出关系式；(4)证明(常常省略).,4.直线的参数方程的一般式(t为参数)是过点 M0(x0 , y0) 斜率为 的直线的参数方程. 当且仅当 a2+b2=1 且 b0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义. 将非标准方程 化为标准程,是 (tR), 式中“”号，当 a , b 同号时取正；当 a , b 异号时取负.,5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于选择的参数不同而不同，而参数的选择又是由具体的问题来决定的.,
