1、1函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值,(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果xx0有f(x) 0，则f(x0)是极大值； 如果xx0有f(x) 0，则f(x0)是极小值,2求可导函数f(x)极值的步骤 (1) ； (2) (3)检验f(x)在方程f(x)0的 的符号，如果在根的左侧附近为
2、正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得 ,求导数f(x),求方程f(x)0的根,根左右的值,极大值,极小值,3函数的最值的概念 设函数yf(x)在 上连续，在 内可导，函数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大(最小)值 4求函数最值的步骤 设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最值，可分两步进行： (1) ； (2) ,a，b,(a，b),求f(x)在(a，b)内的极值,将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个,是最大值
3、，最小的一个是最小值,1函数yx33x29x(2x2)有( ) A极大值为5，极小值为27 B极大值为5，极小值为11 C极大值为5，无极小值 D极大值为27，无极小值 答案 C,解析 y3x26x93(x22x3) 3(x3)(x1) y0时，x3或x1，2x2 x1时y5 x1为极大值点，极大值为5，无极小值,2函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是( ) A5，15 B5，4 C4，15 D5，16 答案 A 解析 y6x26x120，得x1(舍去)或2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f
4、(3)4，故最大值为5，最小值为15，选A,3若函数yexmx有极值，则实数m的取值范围( ) Am0 Bm1 Dm1 答案 B 解析 yexm，则exm0必有根，mex0.,4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是( )A37 B29 C5 D以上都不对,答案 A 解析 f(x)6x212x6x(x2) f(x)在(2,0)增(0,2)减x0为极大值点，也为最大值点，f(0)m3m3 f(2)37，f(2)5 最小值是37，选A,5f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_ 答案 6,题型一 利用导数研究函数极值,当a0时，随x
5、的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：,探究1 掌握可导函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域 (2)求方程f(x)0的根 (3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格 (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f(x)0是函数有极值的必要条件,【解析】 (1)f(x)x22ax3a2 (2)令f(x)x22ax3a20，得xa或x3a. 则当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,例2 (1)已知f(x)ax5bx3c(a0)若f(x)在x1处有
6、极值，且极大值为4，极小值为1，求a、b、c； 【分析】 显然有f(1)f(1)0.难点区分：x为何值f(x)取得极大值x为何值f(x)取得极小值 【解析】 f(x)5ax43bx2x2(5ax23b) 依题意知x1，x1为方程5ax23b0的两根 5a3b f(x)5ax2(x21)5ax2(x1)(x1),(2)若函数f(x)x33xa有3 个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A(2,2) B2,2 C(，1) D(1，) 【解析】 f(x)3x23，令f(x)0，x1.三次函数f(x)0有3个根 f(x)极大值0且f(x)极小值0 x1为极大值点，x1为极小值点,探究2 已知极值，
7、要判断哪个是极大值点，哪个是极小值点 注意数形结合，掌握函数的图象,f(x)与f(x)的变化情况如下表：,题型二 利用导数研究函数最值 例3 已知a是实数，求函数f(x)x2(xa)在区间0,2上的最大值,例4 已知函数f(x)x33x29xa. (1)求f(x)的单调递减区间 (2)若f(x)在区间上2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值,【解析】 (1)f(x)3x26x9. 令f(x)3， 所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，) (2)因为f(2)81218a2a， f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2) 因为在(1,3)上f(x)0， 所以f(x)在1,
8、2上单调递增，,又由于f(x)在2，1上单调递减， 因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值 于是有22a20，解得a2 故f(x)x33x29x2. 因此f(1)13927， 即f(x)函数在区间2,2上的最小值为7.,探究3 (1)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得 (2)当连接函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值,【解析】 f(x)3x23ax3x(xa)，由f(x)0，即3x(xa)0，得x0或a，,1函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只是定义域的局部问题 2f(
9、x0)0是f(x)在xx0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f (x)的符号是否相反 3求f(x)的最值应注意在闭区间上研究，还是在开区间上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可，若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性,答案 1,2设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值 (1)求a、b的值； (2)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围,(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c， f(x)6x218x126(x1)(x2) 当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0. 所以，当x1
10、时，f(x)取得极大值f(1)58c. 又f(0)8c，f(3)98c， 则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 因为对于任意的x0,3，有f(x)9. 因此c的取值范围为(，1)(9，),3(2010全国卷，文)已知函数f(x)x33ax23x1. (1)设a2，求f(x)的单调区间； (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围,课时作业（十四）,1(2011合肥质检)“我们称使f(x)0的x为函数yf(x)的零点若函数yf(x)在区间a，b上是连续的，单调的函数，且满足f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间a，b上有唯一的零点”对于函数f(x)6ln
11、(x1)x22x1， (1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值 (2)证明连续函数f(x)在2，)内只有一个零点,由表可知，f(x)值在区间(1,2上单调递增，在2，)上单调递减 当x2时，f(x)的极大值为f(2)6ln31.,(2)证明：由(1)知f(2)6ln310，f(x)在2,7上单调递减， 又f(7)6ln83618(ln22)0， f(2)f(7)0. f(x)在2,7上有唯一零点 当x7，)时，f(x)f(7)0， 故x7，)时，f(x)不为零 yf(x)在7，)上无零点 函数f(x)6ln(x1)x22x1在定义域内只有一个零点,3已知函数f(x)x33x2
12、9xa. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 分析 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.,解 (1)f(x)3x26x9. 令f(x)3， 函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，) (2)f(2)81218a2a， f(2)81218a22a， f(2)f(2) 在(1,3)上f(x)0， f(x)在(1,2上单调递增,又由于f(x)在2，1)上单调递减， f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5. f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2. f(x)x33x29x2. f(1)a57， 即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.,
