1、动态规划题目分析,题目目录,走迷宫问题（maze） 叠放箱子（boxes） 走道铺砖（floor） 三色二叉树（tro） 艺术馆火灾（fire） 打砖块（birke） 火车调度（rail） 重建道路（roads）,走迷宫问题（maze）,给你N*N的格子，每个格子里面有一个数。 从左上角出发，每次可以向上下左右四个方向最多移动K格。 并且规定每次到达的格子的数字必须大于上一次所在方格的数字。 要求你走过的方格的所有数之和最大，并输出这个最大和。,题目分析,我们可以把这个矩阵变为一个图，每个格子看成一个点，如果某个格子能够到另外一个格子，则连一条有向边。 我们可以看到这是一个有向图，那么对于某个
2、点有影响的点是数字比它小的点。,题目分析,那么我们可以得到方程： Fi,j=max(fx,y)+ai,j(点(x，y)能够到达点(i，j) 那么方程怎么实现转移呢？ 我们可以分析，如果当某个点被扩展时，那么这个点要达到最优状态，及这个点不能被其它没扩展的点到达。 怎样处理呢？我们知道当某个点的数比这个数小时，就有可能到达这个点，我们就可以先把这些点从小到大排序，然后一次处理即可。 处理时是像广搜一样由已知状态扩展到未知状态， 时间复杂度：O（NNK）；,叠放箱子（boxes）,有一批箱子，编号为1到N。 每一个箱子都有自身重量和可承受重量。 现在要把这些箱子叠放在一起，并且要满足这些条件： 一
3、、每个箱子上最多只能直接叠放一个箱子； 二、编号较小的箱子不能放在编号较大的箱子之上； 三、每个箱子之上的所有箱子重量之和不得超过该箱的可承受重量。 问最多可以叠放多少箱子。,题目分析,对于这题目输出方案，我们可以用记录某个状态是由那个状态得到的，这样我们可以得到方案数。 那么怎样求最大的叠放数呢？我们不妨倒过来分析：Fi,j表示后面编号为I到N的物品到达重量为J时最多可以放多少个物品，方程为： FI,j=max(fi+1,j-mi+1(满足j-mi=wi),fi+1,j),我们再用LaI,j记录这个状态是由fi+1,laI,j得到的。 时间复杂度为：O（3000N）,走道铺砖（floor）,
4、给你N*M的图（N*M为偶数），然后用1*2的方块把这个图全部铺满。 问有多少个不同本质的方案。 Min(n,m)=12;n,m=40;,题目分析,可以知道：N，M中有一个特别小。 我们就可以用状态压缩的动态规划来求解。 首先对某一列分析，这一列可能有些格子已经被占领，那么其它的格子要么被方块横放，要么被方块竖放，那么下一列的初始状态可以搜索出来。,题目分析,FI,j表示，处理到第I列时，在第I-1列放置方块之后的第I列状态用二进制表示为J时不同方案数。 我们就可以通过搜索求出FI+1,X来。 最后处理到Fn,X(nm)时，那么对于状态X搜索时只能竖放砖头。 答案就是Fn,2m-1。 时间复杂
5、度：O（m22n）。 注意要用高精度。,三色二叉树（tro）,给你一颗二叉树，某个节点有可能只有一个儿子节点。 然后给这些节点染成3种颜色，0，1，2 要求：一个节点与其子节点的颜色必须不同 ；如果该节点有两个子节点，那么这两个子节点的颜色也必须不相同 。 问最多和最少有多少个点能被染成0。,题目分析,我们知道这个问题是要在树上进行动态规划，那怎样划分状态呢？ 能够影响一个节点的状态只有它的儿子节点，设Froot,j表示以根节点为root的子树时，且节点root染成j这颜色所需求最少的0颜色是多少。 方程为FI,j=max(fi.l,p1+fi.r,p2+da)且(p1p2j；当j=0时da=
6、1否则da=0,). 同理我们也可以求出最少需要多少0； 时间复杂度：O(N);,艺术馆火灾（fire）,由LSY讲解,打砖块（brike）,在一个凹槽中放置了n层砖块，最上面的一层有n块砖，第二层有n-1块，最下面一层仅有一块砖。第i层的砖块从左至右编号为1，2，i，第i层的第j块砖有一个价值ai,j（ai,j1，则你必须先敲掉第i-1层的第j和第j+1块砖。 你的任务是从一个有n（n=50）层的砖块堆中，敲掉(m=500)块砖，使得被敲掉的这些砖块的价值总和最大。,题目分析,我们先把这些砖块都向左移动，使他成直角三角形。 如果把位置（i，j）的砖块打掉，那么就必须把位置（i-1，j）和（i
7、-1，j+1）的砖块打掉。 那么对于位置（x，y），yj的是不会影响位置（i，j）的。,题目分析,我们把状态重新定义：如上图，FI,J,K表示新位置（I，J）时打掉了K快砖之后所得到的最大价值总和。 FI,j,k=max(fi-1,p,k-j+daI,j) 用滚动数组来求解即可。 时间复杂度为：O（N3K）,通过优化可以降为O（N2K）,铁路调度（rail）,给你N(N=250)列火车的进站和出站时间。 然后给你M（M=3）个轨道。 问你最多能够进站多少量火车。,题目分析,由于M不同，所用的方法也不同。 但我们可以把列车先按出站时间排序。 M=1：fi表示前I辆列车进站且第I辆列车刚刚进站最多
8、有多少量列车。 M=2：FI,k1,k2，表示处理前I辆列车且，进站的列车为K1，K2时最多能进多少辆。,题目分析,M=3：可以用状态（a，b，c）来表示，且出站时间a=b=c。 如果对于状态（b，c，d），且d的入站时间大于a的出站时间的话，就状态（a,b,c）向状态（b,c,d）连一条有向边，权值为1。 建立一个起点，对入度为0的状态加入一条边权为3的有向边。 在建立一个终点，使出度为0的状态连向它，且权值为0。 那么最优值是从起点到终点的最长路（这个图无环）。,重建道路(roads),给你N个节点的树。 问你最少毁坏多少条边使得有一个节点为P的子树。,题目分析,由于我开始看错了题，所以想了另一个方法。 我们可以看出这是树形DP。 首先可以把这颗森林变为二叉树（及左儿子，右兄弟），且节点1为这可树的根设Di表示在原树中这个子树的节点个数。 FI,j表示在新树中以节点I为根的子树中如果使J个节点脱离，最少需要摧毁多少条边。 FI,j=min(fI.l,k+fi.r,j-k,fi.r,j,fi.r,j-di+1)； 那么答案为：min（f1,n-p，fi.l,di-p+1）。 时间复杂度O（NP2）,
