1、1第 2章 圆锥曲线与方程滚动训练(二)一、填空题1.若双曲线方程为 x22 y21，则它的左焦点的坐标为_.考点 双曲线的标准方程题点 求双曲线焦点答案 (62， 0)解析 双曲线方程可化为 x2 1，y212 a21， b2 ， c2 a2 b2 ， c .12 32 622.已知命题 p：1 x4，命题 q： x24 x30，则 p是綈 q的_条件.考点 充分条件、必要条件、充要条件的判断题点 逻辑联结词和充分条件、必要条件、充要条件的判断答案 必要不充分解析 由 x24 x30，解得 x3，所以綈 q：1 x3，则綈 qp，但是 p綈 q，所以 p是綈 q的必要不充分条件.3.已知双曲
2、线 C： 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C的渐近线上，则双曲线 C的方程为x2a2 y2b2_.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线方程答案 1x220 y25解析 由已知可得双曲线的焦距 2c10， a2 b25 225，又由一条渐近线方程为y x x，得 ，解得 a220， b25.ba 12 12 ba4.已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 ，且过点 P(5,4)，则椭圆的方程55为_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆方程2答案 1x245 y236解析 设椭圆的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2将点(5,4)代入得 1.25a2 16b2又离心率 e ，c
3、a 55即 e2 ，c2a2 a2 b2a2 15解得 a245， b236，故椭圆的方程为 1.x245 y2365.下列命题中：“ xR， x2 x10”的否定；“若 x2 x60，则 x2”的否命题；命题“若 x25 x60，则 x2”的逆否命题.其中真命题的个数是_.考点 命题题点 命题的否定、否命题、逆否命题答案 2解析 “ xR ， x2 x10”的否定为“ xR， x2 x1 2 0”为真命题；(x12) 34“若 x2 x60，则 x2”的否命题为“若 x2 x60， b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是x2a2 y2b2 x216 y29椭圆离心率的两倍，则双曲
4、线的方程为_.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线方程答案 1x24 y23解析 椭圆 1 的焦点坐标为 F1( ，0)， F2( ，0)，离心率 e .由于双曲线x216 y29 7 7 74 1 与椭圆 1 有相同的焦点，因此 a2 b27.x2a2 y2b2 x216 y29又双曲线的离心率 e ，所以 ，a2 b2a 7a 7a 2743所以 a2， b2 c2 a23，故双曲线的方程为 1.x24 y237.设直线 x3 y m0( m0)与双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线分别交于点 A， B.x2a2 y2b2若点 P(m,0)满足 PA PB，则该双曲线的离心率是_.考点
5、 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率答案 52解析 联立直线方程 x3 y m0 与双曲线渐近线方程 y x可得交点坐标为ba， ，而 kAB ，由 PA PB，可得 AB的中点与点 P连线的斜率(am3b a， bm3b a)( am3b a， bm3b a) 13为3，即 3，化简得 4b2 a2，所以 e .bm3b a bm3b a2 0am3b a am3b a2 m a2 b2a2 528.已知椭圆方程为 1( ab0)， A， B分别是椭圆长轴的两个端点， M， N是椭圆上关x2a2 y2b2于 x轴对称的两点，直线 AM， BN的斜率分别为 k1， k2，若 ，则椭圆的离心率
6、为|k1k2|14_.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率答案 32解析 设 M(x0， y0)，则 N(x0， y0).|k1k2| ，可得 3a24 c2，从而 e .|y0x0 ay0x0 a| y20a2 x20 b2(1 x20a2)a2 x20 b2a2 14 ca 329.已知 F1， F2为双曲线 1 的左、右焦点， P(3,1)为双曲线内一点，点 A在双曲线上，x25 y24则 AP AF2的最小值为_.考点 双曲线的标准方程题点 求双曲线方程中的最值问题答案 237 54解析 由题意知， AP AF2 AP AF12 a，要求 AP AF2的最小值，只需求 AP AF1
7、的最小值，当 A， P， F1三点共线时，取得最小值，则 AP AF1 PF1 ，37 AP AF2 AP AF12 a 2 .37 510.设 e1， e2分别为具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率， P为两曲线的一个公共点，且满足 0，则 _.PF1 PF2 e21 e2e1e22考点 圆锥曲线的几何性质题点 求圆锥曲线离心率答案 2解析 设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2， F1F22 c，由题意得PF1 PF22 a1， PF1 PF22 a2，所以 PF PF 2 a 2 a .21 2 21 2又因为 0，所以 PF1 PF2.PF1 PF2 所以 PF
8、 PF F1F ，即 2a 2 a 4 c2.21 2 2 21 2所以 2 22，(a1c) (a2c)即 2，即 2.1e21 1e2 e21 e2e1e22二、解答题11.已知双曲线 3x2 y23，直线 l过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A， B两点，试问 A， B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB的长.考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 双曲线方程可化为 1，x21 y23故 a21， b23， c2 a2 b24， c2， F2(2,0)，直线 l的斜率 ktan451，直线 l的方程为 y x2，代入双曲线方程，得 2x24 x70
9、.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1x2 b0)和圆 O： x2 y2 b2，过椭圆上一点 P引圆 O的两条切线，切x2a2 y2b2点分别为 A， B.(1)若圆 O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 e的值；6若椭圆上存在点 P，使得 APB90，求椭圆离心率 e的取值范围；(2)设直线 AB与 x轴， y轴分别交于点 M， N，问当点 P在椭圆上运动时， 是否为定a2ON2 b2OM2值？请证明你的结论.考点 椭圆的几何性质题点 椭圆几何性质的综合应用解 (1)因为圆 O过椭圆的焦点，圆 O： x2 y2 b2，所以 b c，所以 b2 a2 c2 c2， a22 c2，
10、所以 e .22由 APB90及圆的性质，可得 OP b，所以 OP22 b2 a2，所以 a22 c2，所以 e22， e1.12 22(2) 的值为定值，证明如下：a2ON2 b2OM2设 P(x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ，y0 y1x0 x1 x1y1整理得 x0x1 y0y1 x y .21 21因为 x y b2，所以 x0x1 y0y1 b2，21 21同理 x0x2 y0y2 b2.从而直线 AB的方程为 x0x y0y b2.令 x0，得 ON| y| ，b2|y0|令 y0，得 OM| x| ，b2|x0|所以 ，a2ON2 b2OM2 a
11、2y20 b2x20b4 a2b2b4 a2b2所以 为定值，定值是 .a2ON2 b2OM2 a2b2三、探究与拓展14.已知椭圆 1( a b c0， a2 b2 c2)的左、右焦点分别为 F1， F2，若以 F2为圆x2a2 y2b2心， b c为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P作此圆的切线，切点为 T，且 PT的最小值为7(a c)，则椭圆的离心率 e的取值范围为_.32考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率范围答案 35， 22)解析 因为 PT (b c)，PF2 b c2而 PF2的最小值为 a c，所以 PT的最小值为 .a c2 b c2依题意有 (a c)，a c2 b
12、c232所以( a c)24( b c)2，所以 a c2( b c)，所以 a c2 b，所以( a c)24( a2 c2)，所以 5c22 ac3 a20，所以 5e22 e30.又 b c，所以 b2 c2，所以 a2 c2 c2，所以 2e21，联立，得 e .35 2215.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，以原点x2a2 y2b2 32为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线 x y20 相切.(1)求椭圆 C的方程；(2)已知点 P(0,1)， Q(0,2).设 M， N是椭圆 C上关于 y轴对称的不同两点，直线 PM与 QN相交于点
13、 T，求证：点 T在椭圆 C上.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆几何性质的综合应用(1)解 由题意知 b .22 2因为离心率 e ，ca 32所以 ，所以 a2 ，ba 1 (ca)2 12 28所以椭圆 C的方程为 1.x28 y22(2)证明 由题意可设 M， N的坐标分别为( x0， y0)，( x0， y0)，则直线 PM的方程为 y x1，y0 1x0直线 QN的方程为 y x2.y0 2 x0方法一 联立解得 x ， y ，x02y0 3 3y0 42y0 3即 T .(x02y0 3， 3y0 42y0 3)由 1，可得 x 84 y .x208 y202 20 20因为
14、2 2 18( x02y0 3) 12(3y0 42y0 3) x20 43y0 4282y0 32 8 4y20 43y0 4282y0 32 32y20 96y0 7282y0 321，所以点 T坐标满足椭圆 C的方程，即点 T在椭圆 C上.82y0 3282y0 32方法二 设 T(x， y).联立解得 x0 ， y0 .x2y 3 3y 42y 3因为 1，所以 2 21.x208 y202 18( x2y 3) 12(3y 42y 3)整理得 (2 y3) 2，x28 3y 422所以 12 y84 y212 y9，x28 9y22即 1.x28 y22所以点 T坐标满足椭圆 C的方程，即点 T在椭圆 C上.
