1、专题三 方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践
2、能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常见类型有：(1) 图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清 题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求 综合运用数学知识比较确定哪种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合 问题描述的要求 ，二是要具有代表性(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等对于图案设计类，
3、一般运用中心对称、 轴对称或旋转等几何知识 去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复 杂的动手操作过程统计测量型方案设计【例 1】 某学校举行演讲比赛，选出了 10 名同学担任评委，并事先拟定从如下 4 个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为 10 分) ：方案 1：所有评委所给分的平均数；方案 2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案 3：所有评委所给分的中位数；方案 4：所有评委所给分的众数为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲
4、成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分解：(1)方案 1 最后得分： (3.27.07.83838.49.8)7.7；方案 2 最后110得分： (7.07.838 38.4)8；方案 3 最后得分： 8；方案 4 最后得分：8 或 8.4 18(2)因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的 “平均水平” ，所以方案 1 不适合作为最后得分的方案；又因为方案 4 中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案 4 不适合作为
5、最后得分的方案【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较1(2012宜宾)如图，飞机沿水平方向(A，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素 ，飞机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离 MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示 ，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离 MN 的步骤解：(1)如图，测出飞机在 A 处对山顶的俯角为 ，测出飞机在 B 处对山顶的俯角为，测出 AB 的距离为 d，连接 AM，BM (2)第一步骤：在
6、RtAMN 中，tan ，AN ，第二步骤：在 RtBMN 中，tan ，BN ，其MNAN MNtan MNBN MNtan中：ANdBN，解得：MN ，此题为开放题，答案不唯一，只要方案dtan tantan tan设计合理利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例 2】 (2013茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有 A，B 两个品种的树苗出售，已知 A 种比 B 种每株多 2 元，买 1 株 A 种树苗和 2 株 B 种树苗共需 20 元(1)问 A， B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买 A，B 两种树苗共 360 株 ，且 A 种树苗数量不少于 B种数量
7、的一半，请求出费用最省的购买方案解：(1)设 A 种树苗每株 x 元，B 种树苗每株 y 元，由题意 ，得 ，解得：x y 2x 2y 20)， 答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元x 8y 6)(2)设 A 种树苗购买 a 株，则 B 种树苗购买(360a)株，共需要的费用为 W 元，由题意，得 ，由，得 a120.由，得 W2a2160.k20，W 随a 12（360 a）W 8a 6（360 a） )a 的增大而增大，a 120 时，W 最小2400，B 种树苗为： 360120240 棵最省的购买方案是：A 种树苗购买 120 棵，B 种树苗购买 240 棵【点评】本题考
8、查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点2(2014丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共 10 台已知用 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备 A 型 B 型价格 (万元/台) m m 3月 处 理污水量(吨/台) 220 180(1)求 m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的
9、吨数解：(1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得： ，解得 m18，经检验 m18 是原方程的解，即90m 75m 3m18(2)设买 A 型污水处理设备 x 台，则 B 型(10x) 台，根据题意得：18x15(10x)165，解得 x5，由于 x 是整数，则有 6 种方案，当 x0 时，y10，月处理污水量为1800 吨，当 x1 时，y9，月处理污水量为 22018091840 吨，当 x2 时，y8，月处理污水量为 220218081880 吨，当 x3 时，y7，月处理污水量为220318071920 吨，当
10、 x4 时，y6，月处理污水量为 220418061960 吨，当 x5 时，y5，月处理污水量为 220518052000 吨，答：有 6 种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为 2000 吨图形类方案设计【例 3】 (2014济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板
11、带刻度三角板、量角器、圆规 带 刻度三角板、圆规.画出示意图简述设计方案作O 两条互相垂直的直径 AB，CD ，将O 的面积 分成相等的四份.(1)以点 O 为圆 心，以 3个单位长度为半径作圆；(2)在大O 上依次取三等分点 A，B，C；(3)连接 OA，OB，OC.则小圆O 与三等份圆环把O 的面积四等分(4)作O 的一条直径AB；(5)分别以 OA，OB的中点为圆心，以 3 个单位长度为半径作O 1，O 2；则O 1，O 2 和O 中剩余的两部分把O 的面积四等分.指出对称性 既是轴对称图形又是中心 对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心 对称图形【点评】 本题主要考查了利用 轴对
12、称设计图案以及轴对称图形、中心 对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键3认真观察下图的 4 个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征特征 1：_都是轴对称图形_；特征 2：_都是中心对称图形_(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个图形的分割与拼接【例 4】 (2014广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1，a(a1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，
13、依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出 a 的值解：如图，a4，如图，a ，52如图，a ，43如图，a ，53【点评】 本题主要考查了图 形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形 ABCD将平行四边形分割是解题关键4ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C90，AC BC 2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法 (如图)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由(2)图中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 S1；按照甲种剪法，在余下的ADE 和 BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第
14、 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 S2(如图)，则 S2_ _；再在余下的四个三角形中，用同样的12方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 S3(如图 )；继续操作下去则第 10 次剪取时， S10_ _129(3)求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和解：(1)如图甲，由题意得 AEDEEC ，即 EC1，S 正方形 CFDE1.如图乙，设MNx ，则由题意，得 AMMQPNNBMNx， 3x2 ，解得 x ，S 正方2223形 PNMQ( )2 .1 ， 甲种剪法所得的正方形的面积更大；223 89 89(2)由题意可得，S
15、1111， S22 ，S 32 2 ，S 4 23 Sn .故 S212 12 12 14 14 14 18 18 18 12n 1，S 10 ； (3)结合(2) 中求得的规律： Sn ，则第 10 次剪取后余下的所有小三角12 129 12n 1形的面积和为 S9S 10S 10 .129图形的平移、旋转与翻折【例 5】 (2014江西)如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上(不与点A，B 重合 )，点 F 在 BC 边上 (不与点 B，C 重合)第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时 ，记为点 G；第二次操作：将线段 FG 绕点
16、 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H；依此操作下去(1)图中的三角形 EFD 是经过两次操作后得到的 ，其形状为 _等边三角形_，求此时线段 EF 的长；(2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH；请判断四边形 EFGH 的形状为_正方形_，此时 AE 与 BF 的数量关系是_AE BF_；以中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取值范围解：(1)等边三角形四边形 ABCD 是正方形，ADCD BC AB，A BC90.EDFD，ADECDF.(HL)AE CF，BE BF.BEF 是等腰直角三角形设
17、BE 的长为 x，则 EF x，AE 4x.在 RtAED2中，AE 2AD 2DE 2，DE EF ，(4x) 24 2( x)2 解得2x144 ，x 244 (不合题意，舍去)EF x (44 )4 43 3 2 2 3 6 2(2)四边形 EFGH 为正方形；AEBF.AEx，BE4x.在 RtBEF 中，EF2BF 2BE 2，AEBF ，yEF 2(4x) 2x 2168xx 2x 22x 28x16，点E 不与点 A，B 重合，点 F 不与点 B，C 重合，0x 4.y2x 28x162(x 24x4)82(x 2) 2 8，当 x2 时有最小值 8，当 x0 或 4 时，有最大
18、值 16，y 的取值范围是 8y16.【点评】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的 应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键5(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C 90 ，BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 _DEAC_；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是_S 1S 2_(2)猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 所示的位置时，小明猜想(1
19、)中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点E(如图) 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF S BDE ，请直接写出相应的 BF 的长解：(1)DEC 绕点 C 旋转，点 D 恰好落在 AB 边上 ，AC CD， BAC90 B903060 ，ACD 是等边三角形，ACD 60，又CDE BAC60，ACD CDE，DEAC；B30，C 90，CD AC AB，BDAD AC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC，A
20、D 上12的高相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等( 等底等高的三角形的面积相等)，即S1S 2； (2) DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到，BCCE，ACCD， ACNBCN90，DCM BCN1809090，ACN DCM，在ACN 和DCM 中， ACN ACN DCM， CMD N 90，AC CD， )DCM(AAS)， ANDM， BDC 的面积和AEC 的面积相等( 等底等高的三角形的面积相等) ，即 S1S 2； (3)如图，过点 D 作 DF1BE ，易求四边形 BEDF1 是菱形，所以 BEDF 1，且BE，DF 1 上的高相等 ，此时 SDCF S BDE ，
21、过点 D 作 DF2BD，ABC60，F 1DF2ABC 60， DF 1F2 是等边三角形，DF 1DF 2，BDCD， ABC60，点 D 是角平分线上一点，DBCDCB6030，CDF 1 18030150，CDF 23601506012150，CDF 1CDF 2，在CDF 1 和CDF 2 中 ， DF1 DF2， CDF1 CDF2，CD CD， )CDF1 CDF2(SAS)，点 F2 也是所求的点，ABC60，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC BDE ABD 6030 ，又12BD4，BE 4cos30122 ，BF 1 ，BF 2BF 1F 1F2 ，故 BF 的长
22、为 或 .32 433 433 433 433 833 433 833立体图形与平面图形之间的相互转化【例 6】 (2012绍兴)把一边长为 40 cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计 )(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形( 即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上) ，将剩
23、余部分折成一个有盖的长方体盒子 ，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高( 只需求出符合要求的一种情况)解：(1)设剪掉的正方形的边长为 x cm.则(402x) 2484 ，解得 x131( 不合题意，舍去)，x 29.剪掉的正方形的边长为 9 cm.侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm2，则 y 与x 的函数关系为：y4(402x)x8x 2160x8(x10) 2800，x10 时，y 最大800.即当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时，长方体盒子的侧面积最大 ，为 800 cm2；(2)在如图的一种剪裁图中，设
24、剪掉的正方形的边长为 x cm.则 2(402x)(20x)2x(20 x) 2x(402x)550 ，解得：x 135(不合题意 ，舍去)，x 215.剪掉的正方形的边长为 15 cm.此时长方体盒子的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 5 cm.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，把平面图形围成立体图形然后找到等量关系，准确地列出函数关系式是解决问题的关键6(2014凉山州)如图，圆柱形容器高为 18 cm，底面周长为 24 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁 A 处
25、到达内壁 B 处的最短距离为_20_ cm .试题 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB3，AD5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在 BC 边上的 A处，折痕为 PQ，当点 A在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为_错解：1.剖析 学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应 用等知识，难度稍大，关键 在于找到两个极端，即 BA取最大或最小值时，点 P 或 Q 的位置经实验不难发现，分别求出点 P 与 B 重合时，BA取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时，BA的最小值 1.所以可求点 A在 BC 边上移动的最大距离为 2.正解 当点 P 与 B 重合时，BA取最大值是 3，当点 Q 与 D 重合时(如图) ，由勾股定理得 AC4， 此时 BA取最小值为 1.则点 A在 BC 边上移动的最大距离为 312.
