1、模块综合测评(满分：150 分 时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 aR，则“a2”是“a 22a”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B a 22aa(a2) 00a2.“a2”是“a 22a”的必要不充分条件2已知命题 p：x 0，总有(x1)e x1，则 p 为( )Ax 00，使得 (x01)e 1x0 B x00，使得(x 01)e 1x0 C x0，总有(x1)e 1x0 Dx0，总有 (x1)e 1x0 B 命题 p 为全称命题，所以 p
2、为x 00，使得(x 01)e 1.故选 Bx0 3若椭圆 1(ab0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2率为( )A B C D54 52 32 54B 由题意，1 ， ，而双曲线的离心率b2a2 ( 32)2 34 b2a2 14e21 1 ， e .b2a2 14 54 524已知空间向量 a(t,1，t)，b(t2，t,1)，则| ab|的最小值为( )A B C2 D42 3C |ab| 2，故选 C2t 12 45椭圆 1 与椭圆 1 有( )x225 y29 x2a2 y29A相同短轴 B相同长轴C相同离心率 D以上都不对D 对于 1，
3、有 a29 或 a2b0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C x2a2 y2b2于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆的离心率为 ，则23k 的值为( )A B C D13 13 13 12C 由题意知点 B 的横坐标是 c，故点 B 的坐标为 ，则斜率 k(c，b2a) (1e ) ，故选 Cb2ac a b2ac a2 a2 c2ac a2 1 e2e 1 1311若 F1，F 2 为双曲线 C： y 21 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上，x24F 1PF260，则点 P 到 x 轴的距离为( )A B C D55 155 2155 1520
4、B 设|PF 1| r1，|PF 2|r 2，点 P 到 x 轴的距离为| yP|，则 SF1PF2 r1r2sin 60 r1r2，又 4c2r r 2r 1r2cos 60(r 1r 2)12 34 21 222r 1r2r 1r24a 2r 1r2，得 r1r24c 24a 24b 24，所以 SF 1PF2 r1r2sin 1260 2c|yP| |yP|，得| yP| ，故选 B312 5 15512抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足AFB .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大23 |MN|AB|值是(
5、 ) 【导学号：46342199】A B C D332 33 34C 如图设|AF|r 1，|BF|r 2，则| MN| .在r1 r22AFB 中，因为|AF|r 1，|BF| r 2且AFB ，所以由余弦23定理，得|AB | ，所以r21 r2 2r1r2cos 23 r21 r2 r1r2 |MN|AB| r1 r22r21 r2 r1r2 12 r1 r22r21 r2 r1r2 12 1 r1r2r21 r2 r1r2 12 ，当且仅当 r1r 2时取等号故选 C1 r1r23r1r2 33二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13已
6、知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，如果(2 ，1，4)， (4,2,0)， (1,2， 1)对于下列结论：AB AD AP APAB；AP AD ； 是平面 ABCD 的法向量； .其中正确的AP AP BD 是_(填序号) 2240， ，即 APAB，正确；AB AP AB AP 440， ，即 APAD， 正确；由可得 是平面AP AD AP AD AP ABCD 的法向量，正确；由可得 ，错误AP BD 14已知双曲线 1(a0，b0) 的一条渐近线平行于直线x2a2 y2b2l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为_ 1 由已知得 2，所以 b
7、2a.在 y2x10 中令 y0 得x25 y220 bax5，故 c5，从而 a2b 25a 2c 225，所以 a25，b 220，所以双曲线的方程为 1.x25 y22015在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率x2a2 y2b2e ，且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3，则椭圆 C 的方程为23_y 21 由 e ，得 c2 a2，所以 b2a 2c 2 a2x23 ca 23 23 13设 P(x，y)是椭圆 C 上任意一点，则 1，所以 x2a 2(1 )x2a2 y2b2 y2b2a 23y 2.|PQ| ，x2 y 22 a2 3
8、y2 y 22 2y 12 a2 6当 y1 时， |PQ|有最大值 .由 3，可得 a23，a2 6 a2 6所以 b21，故椭圆 C 的方程为 y 21.x2316四棱锥 PABCD 中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且PDAB 1，G 为ABC 的重心，则 PG 与底面 ABCD 所成的角 的正弦值为_. 【导学号：46342200】 如图，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，31717y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知 P(0,0,1)，A (1,0,0)，B(1,1,0)，C (0,1,0)，则重心 G ，因此 (0,0,1)，(23，23，0) D
9、P ，所以 sin |cos ， | .GP ( 23， 23，1) DP GP |DP GP |DP |GP | 31717三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分) 设集合 Ax|x 23x20 ，Bx|ax1 “xB ”是“xA”的充分不必要条件，试求满足条件的实数 a组成的集合解 Ax |x23x 201,2，由于“xB”是“x A ”的充分不必要条件，B A当 B时，得 a0；当 B时，由题意得 B1 或 B2则当 B1 时，得 a1；当 B2时，得 a .12综上所述，实数 a 组成的集合是 .0，1，1218(
10、本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4， )2 10(1)求双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证： 0.MF1 MF2 解 (1)由双曲线的离心率为 ，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的2方程为 x2y 2，又双曲线过点(4， )，代入解得 6，故双曲线的方程10为 x2y 26.(2)证明：由双曲线的方程为 x2y 26，可得 ab ，c2 ，所以6 3F1(2 ，0)，F 2(2 ，0) 由点 M(3，m)，得 (2 3，m)，3 3 MF1 3(2 3，m)，又点 M(3，m)在双曲线上，所以 9m 26，
11、解得MF2 3m23，所以 m230.MF1 MF2 19. (本小题满分 12 分)如图 1，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面 ABCD，AB DC ，AA 11，AB 3k，AD4k， BC5k，DC6k(k0)图 1(1)求证：CD平面 ADD1A1；(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值. 67【导学号：46342201】解 (1)证明：取 CD 的中点 E，连接 BE，如图(1)(1)ABDE，AB DE 3k，四边形 ABED 为平行四边形，BEAD 且 BEAD 4k.在BCE 中，BE 4k ，CE3k，BC5k，BE2
12、CE2BC2，BEC90，即 BECD 又BEAD，CDAD AA 1平面 ABCD，CD平面 ABCD，AA 1CD 又 AA1ADA，CD平面 ADD1A1.(2)以 D 为原点， ， ， 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立如图(2)所DA DC DD1 示的空间直角坐标系，则 A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，(2) ( 4k, 6k,0)， (0,3k,1) ， (0,0,1)AC AB1 AA1 设平面 AB1C 的法向量 n(x，y ，z )，则由Error!得 Error!取 y2，得 n(3,2，6k) 设 AA1 与平
13、面 AB1C 所成的角为 ，则sin |cos ，n| ，解得 k1，故所求 k 的AA1 |AA1 n|AA1 |n| 6k36k2 13 67值为 1.20. (本小题满分 12 分)如图 2，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A，B 两点4图 2(1)用 p 表示|AB|；(2)若 3，求这个抛物线的方程OA OB 解 (1)抛物线的焦点为 F ，过点 F 且倾斜角为 的直线方程为(p2，0) 4yx .p2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得 x23px 0，p24x 1x 23p，x 1x2 ，p24|AB|x 1
14、x 2p4p.(2)由(1)知，x 1x2 ，x 1x 23p，p24y 1y2 x 1x2 (x1x 2) p 2， (x1 p2)(x2 p2) p2 p24 p24 3p22 p24 OA x 1x2y 1y2 p 2 3，解得 p2 4，p2.OB p24 3p24这个抛物线的方程为 y24x .21(本小题满分 12 分) 如图 3 所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA 1，PD ，E 为 PD 上一点，PE2ED 2图 3(1)求证：PA平面 ABCD；(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证
15、明；若不存在，说明理由解 (1)证明：PAAD1，PD ，2PA 2AD 2PD 2，即 PAAD 又 PACD，AD CD D，PA平面 ABCD(2)以 A 为原点，AB ，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C (1,1,0)，P(0,0,1)，E ， (1,1,0)， .设平面 AEC 的法向量为(0，23，13) AC AE (0，23，13)n( x， y，z )，则Error!即Error!令 y1，则 n(1,1，2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且 (01)，CF CP 使得 BF平面 AEC，则 n0
16、.BF 又 (0,1,0)( ， )( ，1，)，BF BC CF n120 ， ，BF 12存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点22. (本小题满分 12 分)如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别是椭圆 1(a b0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2 并延长交x2a2 y2b2椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C图 4(1)若点 C 的坐标为 ，且 BF2 ，求椭圆的方程；(43，13) 2(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值. 【导学号：46342202】解 (1)BF 2
17、，而 BF OB 2OF b 2c 22a 2，2 2 2点 C 在椭圆上，C ，(43，13) 1，169a2 19b2b 21，椭圆的方程为 y 21.x22(2)直线 BF2的方程为 1，与椭圆方程 1 联立方程组，xc yb x2a2 y2b2解得 A 点坐标为 ，(2a2ca2 c2， b3a2 c2)则 C 点的坐标为 ，(2a2ca2 c2， b3a2 c2)又 F1为(c,0)，k ，F1Cb3a2 c22a2ca2 c2 c b33a2c c3又 kAB ，由 F1CAB，得 1，bc b33a2c c3( bc)即 b43a 2c2 c4，所以(a 2c 2)23a 2c2c 4，化简得 e .ca 55
