1、1.2 导数的运算1 下列运算中正确的是( )A.(ax2+bx+c)=a(x2)+b(x)B.(cos x-2x2)=(cos x)-2(x2)C.(sin 2x) cos x cos x=12( x) +12( x)D.(2- 12)=(2x)+(x2)答案： A2 下列四组函数中导数相等的是( )A.f(x)=2 与 g(x)=2xB.f(x)=-sin x 与 g(x)=cos xC.f(x)=2-cos x 与 g(x)=-sin xD.f(x)=1-2x2 与 g(x)=-2x2+4解析： 选项 D 中,f( x)=(1-2x2)=-4x,g(x)=(-2x2+4)=-4x.答案：
2、 D3 曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( )A.y=x-1 B.y=-x+1C.y=2x-2 D.y=-2x+2解析： y=3x 2-2,曲线在点(1,0)处的切线的斜率 k=1,切线方程为 y-0=1(x-1),即 y=x-1.答案： A4 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f(1)=2,则 f(-1)= ( )A.-1 B.-2 C.2 D.0解析： f (x)=4ax3+2bx 为奇函数,f(1)=2,f(-1)=-2.答案： B5 设 f(x)=ex+xe+ea(a 为常数),则 f(x)= . 解析： f(x)=(ex)+(xe)+(ea)=ex+e
3、xe-1.答案： ex+exe-16 若曲线 C:y=x3-2ax2+2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角 ,则实数 a 的取值范围是 . 解析： 曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,y= 3x2-4ax+2a0 恒成立,= 16a2-24a0,0a32.答案： (0,32)7 设坐标平面上的抛物线 C:y=x2,过第一象限的点(a,a 2)作曲线 C 的切线 l,则 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为 ,当 l 与 x 轴的夹角为 30时,a= . 解析： 因为 y=2x,所以 l:y-a2=2a(x-a).令 x=0 得 y=-a2,故 Q(0,-a2).又因为 tan 30=2
4、a,所以 a=36.答案： (0,-a2) 368 已知曲线 y=5,求 :(1)这条曲线与直线 y=2x-4 平行的切线方程;(2)过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程.解 (1)设切点坐标为(x 0,y0),由 y= y5,得=52.切线斜率 .为 520 切线与直线 y=2x-4 平行, 520=2.x 0=2516,y0=254.则所求的切线方程为 y254=2(-2516),即 16x-8y+25=0.(2)点 P(0,5)不在曲线 y= ,5上设切点坐标为 M(t,u),则切线斜率 .为 52 又切线斜率为 -5 ,52=-5 =5-5 .2t- t=4.2=t,解得切点为 M
5、(4,10),斜率为 54.切线方程为 y-10=54(x4),即 5x-4y+20=0.9 已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与曲线 C1,C2 都相切,求直线 l 的方程.分析： 直线 l 与 C1,C2 都相切,即 l 是 C1 的切线同时也是 C2 的切线,从而求出切点坐标.解 设直线 l 与曲线 C1 切于点( x1,y1),与曲线 C2 切于点(x 2,y2),则 y1 =21,y2=(x22)2.由 y=x2,得直线 l 的方程可以表示为 y 21=2x1(xx1),即 y=2x1x 21. 又由 y=-(x-2)2=-x2+4x-4,得直线 l 的方程可以表示为y+(x2-2)2=(-2x2+4)(x-x2),即 y=(4-2x2)x +224. 由题意可得和表示同一条直线.从而有 4-22=21,22-4=-211+2=2,21+22=4.解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0.若 x1=0,则由 可得切线方程为 y=0;若 x2=0,则由 可得切线方程为 y=4x-4.故适合题意的直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.
