1、2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课时过关能力提升1.抛物线 y2=12x 的焦点坐标是( )A.(12,0) B.(6,0) C.(3,0) D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )A.y .y2=432=92C.y2= .y2=4x43答案:B3.抛物线 y2=43的准 线 方程是 ( )A.x .x=13 =23C.x= .x=23 13答案:D4.已知圆(x-a )2+(y-b)2=r2 的圆心为抛物线 y2=4x 的焦点,且该圆与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为( )A.(x-1)2+y .x2+(y-1
2、2=6425 )2=6425C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点 P 是抛物线 y2=16x 上的点,它到焦点的距离 h=10,则它到 y 轴的距离 d 等于( )A.3 B.6 C.9 D.12解析:设点 P 到抛物线 y2=16x 的准线的距离为 l.由抛物线 y2=16x .由抛物线定义知 l=h,知2=4又 l=d d=l -4=6.+2,故 2=2=10答案:B6.设定 y2=2x 上的点 P 之间的距离为 d1,点 P 到抛物线准线 l 的距离为 d2,点(3,103)与抛物 线则 d1+d2 取最小值时, 点 P 的坐标为 ( )A.(0,0)
3、B.(1, 2)C.(2,2) D.(18,-12)解析:连接 PF,则 d1+d2=|PM|+|PF|MF| ,知 d1+d2 的最小值是|MF|,当且仅当 M,P,F 三点共线时, 等号成立, 而直线 MF 的方程为 y y2=2x 联立求得 x=2,y=2;x y=43(-12),与 =18,),此时,点 P 的坐标为(2,2).12(舍去答案:C7.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 . 答案:y 2=8x8.抛物线 x=2y2 的焦点坐标是 . 答案:(18,0)9. 已知 y2=2px(p0),求满足下列条件的抛物线的标准方
4、程.(1)焦点为直线 3x+4y-12=0 与 x 轴的交点;(2)焦点到直线 x=-5 的距离是 8.解: (1)直线与 x 轴的交点为(4,0),则 =4, p=8,2 方程为 y2=16x.(2)焦点在 x 轴上,设为 , +5=8,(2,0) 2解得 =3,则其焦点为(3,0),2 p=6,故方程为 y2=12x 或 y2=-52x.10.如图, 已知直线 AB 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦,F 是抛物线的焦点,点 A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x2=24;(2)|AB|=x1+x2+p 为直线 AB 的倾斜角);=22(3 .) 1|
5、+ 1|为 定 值分析:设出直线 AB 的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点 F ,(2,0)当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=k (k0),(-2)由 消去 x,得 ky2-2py-kp2=0. =(-2),2=2, 由一元二次方程根与系数的关系,得 y1y2=-p2,y1+y2= .又由 y=k ,得 x= y+ ,故2 (-2) 1 2x1x2= y1y2+ (y1+y2)+ (-p2)+ .(11+2)(12+2)=12 2 24=12 22+24=-22 +22+24=24当直线 AB 的斜率不
6、存在时, 直线 AB 的方程为 x= ,则 y1=p,y2=-p,则 y1y2=-p2,2x1x2= .212222=(12)242 =24综上, y1y2=-p2,x1x2= .24(2)当直线 AB 的斜率存在时,由抛物线的定义知 ,|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,2 2 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. 又 y=k (k0), x= y+ ,(-2) 1 2 x1+x2= (y1+y2)+p.由 知 y1+y2= ,1 2 x1+x2= +p,代入 得|AB|= +2p=2p =2p .22 22 (1+12) (1+ 12)=22当直线 AB 的斜率不存在, 即 = 时,A ,B ,|AB|=2p= +p= .2 (2,) (2,-) 2+2222综上, |AB|=x1+x2+p= .22(3)1|+ 1|= 11+2+ 12+2= ,1+2+12+2(1+2)+24将 x1x2= ,x1+x2=|AB|-p,24代入上式,得.1|+ 1|= |24+2(|-)+24=2故 为定值 .1|+ 1| 2
