1、第二章检测(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知椭 ABF2 的周圆 22+225=1(a5)的两个焦点 为 F1,F2,且 |F1F2|=8,弦 AB过 点 F1,则长为( )A.10 B.20C.241.441解析: 因为|F 1F2|=8,所以 c=4, a ABF2 的故 2-25=4,解得 =41,再由 椭圆 的定 义 可求得周长.答案: D2.若焦点在 x 轴上的椭圆 22+2=1的离心率 为 12,则 m等于 ( )A. 3.32C.83.23解析: a=2
2、,c=2-,=2-2 =12,所 m0,所以 m B.以 2-=22.又 =32.所以 选答案: B3.已知双曲线的渐近线方程为 y=34x,则 此双曲 线 的 ( )A.焦距为 10B.实轴与虚轴分别为 8 和 6C.离心率是 54或 53D.离心率不确定解析: 由双曲线的渐近线方程为 y=34x,可知 =34或 =34.e=2+2 =1+()2=54或 53.所以选 C.答案: C4.下列曲线中离心率为 62的是 ( )A.2224=1.2422=1C.2426=1.24210=1解析: 在曲线方 ,a=2,c程 2422=1中 =4+2=6.所以离心率 e=62.答案: B5.已知 P
3、为双曲 F 1PF2=60,线 2222=1(ab0)上一点 ,F1,F2为 焦点 ,若则 12等于 ( )A. 3b2. 34abC. 33|b2a2|. 32|a2+b2|解析: |PF 1|-|PF2|=2a,且 4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,|PF 1|PF2|=4c2-4a2=4b2.|PF2|sin 6012=12|PF1| =3b2.答案: A6.已知抛物线 y=ax2 的准线方程是 y-2=0,则 a 的值是 ( )A.18.18.8.8解析: 将抛物线的方程化为标准形式 x2=1y,其准
4、线方程是 y= a=14=2,故 18.答案: B7.等轴双曲线 C 的中心在原点 ,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=43,则 C的 实轴长为 ( )A. 2.22.4.8解析: 设双曲线的方程 x=-4,且|AB|= A(-4,为 2222=1,抛物 线 的准 线为 43,故可得A 的坐标代入双曲线方程,得 a2=4,故 a=2,即双曲线的实轴长为 4.23),B(4,23).将点答案: C8.已知双曲线 24212=1的离心率 为 e,抛物 线 x=2py2的焦点 为 (e,0),则 p的 值为 ( )A.2 B.1 C.14.116解析:
5、 依题意得 e=2,抛物线方程为 y2 p=12x,故 18=2,得 =116.答案: D9.已知双曲线 2222=1(a0,b0)的两个焦点 为 F1,F2,若 P为 其上一点 ,且 |PF1|=2|PF2|,则 双曲 线 的离心率的取 值 范 围为 ( )A.(1,3) B.(1,3C.(3,+) D.3,+)解析: 如图,由题意知在双曲线上存在一点 P,使得|PF 1|=2|PF2|.|PF 1|-|PF2|=2a,|PF 2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF 2|=2a,即|AF 2|2a.|OF 2|-|OA|=c-a2a,c3a.ca, a2.答案: D二、填空题(
6、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.在平面直角坐标系 xOy 中 ,若双曲线 2 22+4=1的离心率 为 5,则 m的 值为 . 解析: 根据双曲线方程的结构形式可知 ,此双曲线的焦点在 x 轴上,且 a2=m,b2=m2+4,故c2=m2+m+4,于是 e2 m=2,经检验符合题意.=22=2+4 =(5)2,解得答案: 212.直线 l:x-y+1=0 和椭圆 24+23=1相交于 A,B两点 ,则 弦 |AB|= . 解析: 设 A(x1,y1),B(x2,y2),7x2+8x-8=0,由 -+1=0,24+23=1,可得所以 x1+x2=8
7、7,x1x2=87,由弦长公式可得|AB|=1+2|x2x1|=1+12( -87)2-4( -87)=247.答案:24713.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB的长为 8,则 p= . 解析: 由焦点弦|AB| |AB|=22,得 = 2245,2p=|AB|12,p=2.答案: 214.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a= . 解析: 焦点坐标为(1,0),代入直线方程得 a=-1.答案: -115.已知椭圆 G 的中心在坐标原点 ,长轴在 x 轴上,离心率为 32,且 G上一点到 G的
8、两个焦点的距离之和 为 12,则椭圆 G的方程 为 . 解析: 由题意得 2a=12 a=6,c= G 的方程,=32,所以 33,b=3,故 椭圆 为 236+29=1.答案:236+29=1三、解答题(本大题共 3 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分) 已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为 2,求该抛物线的方程及其准线方程.解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线 AB 的方程为 y=x y2=2px 联立,得 y2-2py-p2=0,2,与y 1+
9、y2=2p.由题意知 y1+y2=4,p=2.抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.解法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 y1+y2=4,21=2px1,22=2px2.两式相减,得 kAB=1-21-2= 21+2=2=1,p=2,抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.17.(8 分) 已知 B 为线段 MN 上一点 ,|MN|=6,|BN|=2,动圆 C 与 MN 相切于点 B,分别过 M,N 作圆 C 的切线,两切线交于点 P.求点 P 的轨迹方程.分析: 应用切线长定理进行线段之间的转化 ,根据圆锥曲线的定义求方程.解:以 MN 所在的直
10、线为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示.设 MP,NP 分别与 C 相切于 D,E 两点,则|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=6-2-2=2,且|MN|2.所以点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,2a= 2,2c=6 的双曲线的右支(顶点除外).由 a=1,c=3,知 b2=8.故点 P 的轨迹方程为 x228=1(x1).18.(9 分) 已知椭圆 22+22=1(ab0)的一个 顶 点 为 A(0,1),且它的离心率与双曲 线 23y2=1的离心率互 为 倒数.(1)求椭圆的方程;(2)过点 A 且斜率为 k 的直
11、线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,点 M 在椭圆上,且满足 =12+32,求 k的 值 .解: (1)因为双曲线 23y2=1的离心率 为 233,所以椭圆的离心率为 32.因为 b=1,所以 a=2.故椭圆的方程为 24+y2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).(1+4k2)x2+8kx=0,由 =+1,24+2=1,得所以 x1+x2= 81+42,x1x2=0.因为 =12+32,所以 m=12(x1+3x2),n=12(y1+3y2).因为点 M 在椭圆上,所以 m2+4n2=4,所以 14(x1+3x2)2+(y1+3y2)2=14(21+421)+3(22+422)+23x1x2+83y1y2=14(4+12+83y1y2)=4.所以 y1y2=0,所以(kx 1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k(- 81+42)+1=0,即 k2=14,所以 k=12.此时 =(8k)2-4(1+4k2)0=64k2=160,故 k 的值为 12.
