1、2018-2019 学 年 福 建 省 厦 门 外 国 语 学 校高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3
2、 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1命题“若 ，则 ”的逆否命题是2 016 0A若 ，则 B若 ，则 2 016 0 0 2 016C若 ，则 D若 ，则 2 016 0 0 2 0162不等式 的解集为12A B C D1,0) 1,+) (,1 (,1(0,+)3“ ”是“a,b,c 成等比数列”的2=A充分不必要条件
3、B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4下列说法正确的是（ ）A 的最小值为 2 B 的最小值为 4， +1 sin+4sin (0,)C 的最小值为 D 的最大值为 12+1 2 4(1)5已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 等于na132,a8967aA B C D1212326朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二
4、天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天发大米 3 升，共发出大米 40392 升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第 8 天应发大米A350 升 B339 升 C2024 升 D2124 升7若不等式 对一切实数 都成立,则 的取值范围为22+38则 的最小值为A B C D494 498 14 28二、填空题13已知关于 的不等式 的解集是 ，则 .x10ax1(,)(,)2a14已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为_.0,01 12 1 +415北京 101 中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在 A 处，图
5、书馆在 B 处，为测量 A，B 两地之间的距离，某同学选定了与 A，B 不共线的 C 处，构成ABC ，以下是测量的数据的不同方案： 测量A ，AC，BC ；测量A，B ，BC ；测量C ，AC ，BC ；测量A，C ，B 其中一定能唯一确定 A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_. 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 16把数列 的各项依次排列，如图所示，则第 行的第 个数为_2 11 15三、解答题17在平面四边形 中， ， ， ， .=90 =45 =2 =5（1）求 ；（2）若 ，求 .=22 18数列 满足 . 1=1,+1=(+1)+(+1),（1）证明：数列
6、 是等差数列；（2）若 ，求 .=12+34+(1)+1 219设数列 满足 .na12352naa（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 60 项的和 T60.1nna20已知 的外接圆半径 ，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且ABC3R. sincos（I）求角 B 和边长 b；（II）求 面积的最大值及取得最大值时的 a、c 的值，并判断此时三角形的形状 .A21在等差数列 中， ，前 项和 满足条件 ， 1=1 2=4,=1,2,（1）求数列 的通项公式和 ； （2）记 ，求数列 的前 项和 .=21 22如图，某自行车手从 O 点出发，沿折线 OABO 匀速骑行，其中
7、点 A 位于点 O 南偏东45且与点 O 相距 20 千米该车手于上午 8 点整到达点 A，8 点 20 分骑至点 C，其中点 C 位于2点 O 南偏东（45 ）（其中 sin= ，0 90）且与点 O 相距 5 千米（假设所有路面及126 13观测点都在同一水平面上） （1）求该自行车手的骑行速度； （2）若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间的持续强降雨试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由 2018-2019 学 年 福 建 省 厦 门 外 国 语 学 校高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试
8、题数 学 答 案参考答案1B【解析】【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可【详解】根据逆否命题的概念可知，命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，2 016 0 0则 ”2 016故选 B【点睛】本题考查命题的有关概念，属于基础题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题2A【解析】【分析】首先对不等式进行移项、通分、变号，再运用分式不等式求解方法进行计算可得结果【详解】原不等式化为 ，12=1 0即 ，+10解得 ，10所以原不等式的解集为 1,0)故选 A
9、【点睛】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式的常用方法是通过移项、通分后化为整式不等式求解，解题时避免通过不等式两边直接同乘以分母的方法求解3B【解析】4D【解析】【分析】根据各个选项中所给式子的特点并结合不等式或函数的知识进行分析、判断后可得结论【详解】选项 A 中，令 ，则函数的定义域为 ，函数的值域为=+1 (,0)(0,+)，所以无最小值，所以 A 不正确；(,22,+)选项 B 中，当 时， ， ，当且仅当 时等号成立，故等(0,)0sin1 sin+4sin4 sin=2号不成立，所以 B 不正确；选项 C 中， ，故最小值为 1，所以 C 不正确；2+11选项 D 中， ，所以
10、 的最大值为 1，所以 D4(1)=4(2)=4(12)2+11 4(1)正确故选 D【点睛】求最值时，可通过基本不等式或函数两个方面考虑，在用基本不等式时要注意不等式的使用条件，即“一正二定三相等” ，且三个条件缺一不可5C【解析】a 1， a3，2a 2 成等差数列，a 3=a1+2a2，q 22q1=0，q=1+ ，q=1 （舍去）， 8967a85632.q故答案为：C.6D【解析】令派遣人数的等差数列为 ，设 ，其前 项和为na164,7dn，令 ，解得 . ，故要发米 升.71642nnS864nS80S0832147D【解析】当 k0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式
11、 2kx2kx 0 对一切实数 x 都成立，则38解得 3k0.综上，满足不等式 2kx2kx 0 对一切实数 x 都成立的 k 的0242(38)0 38取值范围是(3,0，故选 D.8C【解析】【分析】由对数运算性质可求得角 B，再根据正弦定理、三角变换进行判断可得三角形的形状【详解】 ，=2 ，=22又因为 B 是锐角，所以 =4 ，=22 =22由正弦定理得 ，=22 ，=(34)=22 ，22+22=22 ，=0 ，=2 ，=4ABC 是等腰直角三角形故选 C【点睛】判断三角形形状的方法有两种，一是将边转化为角进行判断，二是将角转化为边进行判断，解题时注意三角变换在解题中的应用，属于
12、基础题9C【解析】由 ,舍; 由 作可行域,则直线过点 A 取最小值 1,满足3+=1=1= =12 3+=1+2=1= =12 (15,25)题意,所以 ,选 C=12点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10C【解析】【分析】先取 m=1 得到数列的递推式，然后用累加法求出数列的通项公式，最后用裂项相消法求和【详解】对任意的 都有 ，, +=+令 得 ，=1 +1=+1+=+1+ ，+
13、1=1+ ，1=(2) =(1)+(12)+(21)+1=+(1)+2+1，=(+1)2 (2)又 也满足上式，1=1 =(+1)2 () ，1= 2(+1)=2(1 1+1) 11+12+12017=2(112)+(1213)+( 12017 12018)=2(1 12018)=40342018故选 C【点睛】用裂项相消法求和的原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项11A【解析】分析：先根据余弦定理化边 ，再根据基本不等式求范围 .2+22=详解：因为 ，(2+22)(
14、+)=所以 (2+22)(2+222+2+222)=所以 2+22=因此 ，2=(+)23=430(a+b2)2=112412选 A.点睛：三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”( 即条件要求中字母为正数)、“ 定”( 不等式的另一边必须为定值) 、“ 等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12C【解析】分析：先利用数列的递推公式和整体思想得到数列的通项公式，则判定哪些项为非
15、正值，进而求出 的最小值 .详解：因为 ，且 ，+123=25+1 125=153=5所以数列 是以 为首项、1 为公差的等差数列，25 5则 ，25=5+(1)=6即 ，=(25)(6)令 ，得 ，0526又 ， ，N =3,4,5,6则 的=+1+2+最小值为 .3+4+5+6=3650=14点睛：解决本题的难点是合理将求 的最小值问题转化为判定数列 的哪些项为非正值， 只要把这些非正值相加即得 的最小值.132【解析】试题分析：化分式不等式为整式不等式 ，根据解集是 得，(1)0ax1(,)(,)2,方程的两实根分别为 ， ，所以 = ，a=20a12考点：解分式不等式，二次方程与二次不
16、等式之间的关系.149【解析】分析：根据等差数列的性质，得到 ，由乘 “1”法，结合基本不等式的性质，求1+1=1出 的最小值即可.+4详解：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，所以1 12 1 1+1=1，+4=(+4)(1+1)=5+(+4)5+24=9当且仅当 ，即 时等号成立，=2 =3,=32故答案是 9.点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最小值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，已知两个正数的分式形式和为定值，求其整式形式和的最值的问题，注意乘 1 法的应用.15.【解析】分析：由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定 A，B两地
17、之间的距离.详解：考查所给的四个条件：测量A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有 2 个解，不能唯一确定点A，B 两地之间的距离；测量A，B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点 A，B 两地之间的距离；测量C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点 A，B 两地之间的距离；测量A，C，B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点 A，B 两地之间的距离；综上可得，一定能唯一确定 A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是.点睛：本题主要考查解三角形问题，唯一解的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计
18、算求解能力.16 2115【解析】分析：根据数表中数据，发现规律，根据规律结合等差数列的求和公式、等比数列的通项公式可得第 行第 个数是数列 的第 项为 .11 15 2 115 2115详解：第 行有 个数；1 1第 行有 个数； 2 3第 行有 个数，3 5，,.第 行有 个数，10 19前 行共有 个数，101+192 10=110第 行第 个数是数列 的第 项为 ，故答案为 .11 15 2 115 2115 2115点睛：归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一
19、般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.17（1） ；（2）5235【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，结合角的= =25范围，利用同角三角函数关系式，求得 ；=1225=235(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得 ，之后在 中，用=25 余弦定理得到 所满足的关系，从而求得结果.详解：（1）在 中，由正弦定理得 .= 由题设知， ，所以 .545= 2=25由题设知， ，所以 .90 =1225=235（2）由题设及（1）知， .=25在 中，由余弦定理得2=2+
20、22=25+82522 25.=25所以 .=5点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.18（1）证明见解析；（2） .=(1)+1(+1)2【解析】试题分析：对问题（1）将已知条件进行变形构造出 的关系式，再结合等差数列的定义，+1+1,即可证明数列 是等差数列；对于问题（2）先根据（1）的结论求出数列 的通项公式，再结 合对 的奇偶性讨论，即可求得 . 试题解析：（1）证：由已知可得 ，即 ，+1+1=+
21、1 +1+1=1所以 是以 为首项， 为公差的等差数列 11=1 1（2）解：由（1）得 ，所以 ，=1+(1)1 =2因为 ，=12+34+(1)+1所以 =1222+3242+(1)(1)2+(1)+12当 为偶数时， ； =(3+7+21)=(+1)2当 为奇数时， =(3+7+23)+2=(+1)2综上， =(1)+1(+1)2考点：1、等差数列；2、数列的求和.【思路点晴】本题是一个关于等差数列方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对问题（1）将已知条件进行变形构造出 的关系式，再结合等差数列的定义，即可证明数列+1+1,是等差数列；对于问题（ 2）先根据（1）的结论求出
22、数列 的通项公式，再结合对 的奇偶性 讨论，即可求得 .19(1) (2) na60T【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到通项公式，要注意验证当 时的情况；1n（2）利用分母有理化将通项化成两根式相减，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（1） 数列 满足 时， -得 ，即当 时， 适合上式，（2）令 ，即 .点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为 ，求前 项和： ；1nan11nan（2）已知数列的通项公式为 ，求前 项和：21n；12nan（3）已知数列的通项公式为 ，求前 项和:.1nan1na20（）3；（）等边三角形【解析】试题分
23、析：（）运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到，根据三角函数的诱导公式可得 ，从而得出2sincoABsiCsin0sinBCA，可得 ，最后由正弦定理可得 的长；（ ）由 且 ，利用余弦定13b3b1co2理算出 ，再根据基本不等式算出 ，利用三角形的面积公式算出29ac9ac，从而得到当且仅当 时， 有最大值 ，进而得到此时 是等34ABCSacacABCS934ABC边三角形.试题解析：（） 2sinoscA，即2sincoABCB2insicosincsABCB, sisi又 , , ，即 00co11cs2又 4 分B3由正弦定理有： ，于是 2sinbR3sin2bB（）由余
24、弦定理 得 , coa2cos9a29ac，即 ，当且仅当 时取“=” 292acc9，即求 面积的最大值为 133sin44ABCSaABC934联立 ，解得 29 acc又 为等边三角形. 3BAB【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 21解：（1）设等差数列 的
25、公差为 ,由 得： ， （1 分） 2=4 1+21 =4 ，（2 分） 且 ， （3 分）2=31=3 （4 分）=1+(1)=1+2(1)=21 （5 分）=(1+21)2 =2（2）由 ，得 （6 分） 所以=21 =(21)21， （7 分）=1+321+522+(21)21， （8 分）2=2+322+523+(23)21+(21)2- 得 （9 分）=1+22+222+221(21)2（10 分） （11 分=2(1+2+22+21)(21)21 =2(12)12(21)21 （12 分）=(23)2+3【解析】试题分析：（1）求等差数列问题，一般利用待定系数法求解. 设等差数列
26、的公差为 ,由 得： ，所以 ，且 ，所以2=4 1+21 =4 2=31=3（ 2）由 ，得 这是等差乘等比型，因此=1+12(1)=2, =21 =(21)21利用错位相减法求和. ,=1+321+522+(21)212=2+322+523+(23)21+(21)2两式相减得： =1+22+222+221(21)2，所以 .=2(12)12(21)21 =(23)2+3解：（1）设等差数列 的公差为 ,由 2=4得： ，所以 ，且 ， 3 分1+21 =4 2=31=3所以 5 分=1+(1)=1+2(1)=217 分=(1+21)2 =2（2）由 ，得 8 分=21 =(21)21所以
27、， 9 分=1+321+522+(21)21， 11 分2=2+322+523+(23)21+(21)2 得13 分=1+22+222+221(21)2=2(1+2+22+21)(21)2115 分=2(12)12(21)21所以 16 分=(23)2+3考点：等差数列，错位相减法求和22（1） （2）会进入155【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求出 AC 的长，从而可求出自行车的速度；（2）先根据余弦定理求出 cosOAC，再根据正弦定理可得 OM，再在 RtEHM 中，求出EM 的大小，比较后即可得到结论【详解】（1）由题意知：OA=2 ，OC ， AOC= ，sin= 02 =513
28、126由于 090，所以 =1(126)2=52626在AOC 中，由余弦定理得2=2+22=(202)2+(513)2220251352626，=125所以 ，=55所以该自行车手的行驶速度为 （千米/小时）5513=155（2）如图，设直线 OE 与 AB 相交于点 M在AOC 中，由余弦定理得cosOAC =2+222=(202)2+(55)2(513)2220255 =31010从而 sinOAC =1(31010)2=1010在AOM 中，由正弦定理得 ， = 所以 ， =(45)=202101022(310101010)=20由于 OE=27.540=OM，所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 ME=OEOM=7.5过点 E 作 EH AB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离 在 Rt EHM 中，EH=EMsin EMH=EMsin （45OAC） =7.555=3523.5所以该自行车手会进入降雨区【点睛】（1）解三角形应用题的一般步骤阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已 知与未知，理清量与量之间的关系根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型根据题意选择正弦定理或余弦定理求解将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等（2）解题中要合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型
