1、 考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾:函数的最值前提设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足对于任意 x I，都有 f(x) M；对于任意 x I，都有 f(x) m；条件. 存在 x0 I，使得f(x0) M存在 x0 I，使得f(x0) m.结论 M 为最大值 m 为最小值应用举例:招数一：换元法与配方法【例 1】求函数 = )的最值及取得最值时的 值.y4627(0,xxx【答案】 2,log32,0最 小 值 为 此 时 ， 最 大
2、值 为 此 时其图象是对称轴为 ，开口向上的抛物线。22yt67t3则 ， t3 x0， ， t14， ，当 ，即 时， ；x232log3min2y当 ，即 时， 。t0ax0点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型，解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。 （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解【例 2】 【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】若实数 满足 ，则 的, 25=0 2+2最小值是（ ）A B 1 C D 5
3、55 5【答案】C【例 3】 【广西钦州市 2018 届高三第三次质量检测】定义运算： ，则=()(32得到 ，即可求解其最大值(32)(2+14)=2+14详解：令 ，()=2+14=12+14=(12)2+1由于 ，所以 ，1,1()54,1()32所以 ，所以其最大值为 ，故选 D(32)(2+14)=2+14 1点睛：本题主要考查了函数的新定义运算，二次函数与三角函数的性质，其中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力招数二：图像法【例 4】 【2018 年高考数学（理科，通用版）练酷专题二轮复习课时跟踪检测】已知函数 f(x)2 x1， g(x)1 x2，规定：
4、当| f(x)| g(x)时， h(x)| f(x)|；当| f(x)|1 1, =函数 取得最大值，即 ，因为 ，所以 .() +2=6 4+24=6 =4【例 11】 【山西省太原市实验中学 2018 届高三上学期 9 月月考】已知函数 f(x)2 x 的定义域为(0，1a(a 为实数).(1)当 a1 时，求函数 y f(x)的值域；(2)求函数 y f(x)在区间(0，1上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.【答案】(1) (，1. (2)见解析【解析】试题分析：（1）将 a 的值代入函数解析式，利用定义证明函数的单调性，从而求出函数的值域；（2）通过对 a
5、的讨论，判断出函数在（0，1上的单调性，求出函数的最值试题解析：(1)当 a1 时， f(x)2 x ，任取 1 x1 x20，则 f(x1) f(x2)2( x1 x2) ( x1 x2) .1 x1 x20， x1 x20， x1x20. f(x1) f(x2)， f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最大值 1，所以 f(x)的值域为(，1.(2)当 a0 时， y f(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当 x1 时取得最大值 2 a；当 a0 时， f(x)2 x ，当 1，即 a(，2时， y f(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当 x1 时取得最小值2 a；
6、当 1，即 a(2，0)时， y f(x)在 上单调递减，在上单调递增，无最大值，当 x 时取得最小值 2 .招数五：导数法【例 12】 【2018 年高考数学（理科，通用版）练酷专题二轮复习课时跟踪检测】已知 f(x)2 x36 x2 m(m 为常数)在2,2上有最大值为 3，那么此函数在2,2上的最小值为( )A 0 B 5C 10 D 37【答案】D【例 13】 【浙江省宁波市 2018 届高三上学期期末考试】若函数 在1fx上的最大值为 ，最小值为 ，则 （ ）|14,xxRMmA B 2 C D 7941【答案】C【解析】 ，又 ，且 时，等号成立，故只需求0,1,0fxfm14fx
7、x0的最大值，由于 ，故 ，故选 C.4gx32gx9max1,4Mg方法、规律归纳:1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的常用的求解方法有：(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，
8、要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法求函数 f(x)在 a， b上的最大值和最小值 3 步骤求函数在( a， b)内的极值；求函数在区间端点的函数值 f(a)， f(b)；将函数 f(x)的极值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值实战演练:1 【山西省太原市 2018 届高三上学期期末考试】已知函数 ， ，则 的最大值1xf2,5fx是_【答案】3【解析】函数 在 上为减函数，故最大值为 .21fx,5213f2 【陕西省 2018 届高三教学质量检测试题】若函数 ， 的图像关于原点对称，fxab4,xa则函数 ，
9、 的值域为_agxb4,x【答案】 12,3 【浙江省杭州市 2018 届高三上学期期末】设函数 ，记 为函数2,fxabRM在 上的最大值， 为 的最大值.（ ）yfx1,NabA 若 ，则 B 若 ，则3M12M3C 若 ，则 D 若 ，则2【答案】C4 【四川省德阳市 2018 届高三二诊】已知 、 是函数 （其中常数 ）图象上 ()=2,()(2),(0的两个动点，点 ，若 的最小值为 0，则函数 的最大值为（ ）(,0) ()A B C D 12 1 2 【答案】B【解析】由题 ，当点 、 分别位于分段函数的两支上，且直线 分别与函数()=2,(),() ， 图像相切时， 最小，设
10、当 时， 直线 (1,1),(2,2), ()=2,(1)=12,因为点 在直线直线 上， 解得:+12=12(1), (,0) 0+12=12(1),同理可得 1=+1, 2=1,则 (+1,1),(1,1),=(1,1)(1,1)=1+2(1)=0,，且函数在 上单调递增， 在 上单调递见，故函数 的最=1,()=2,(1),(1) (,1) (1,+) ()大值为 .1故选 B.5 【陕西省延安市黄陵中学 2018 届高三（重点班）下学期第一次大检测】已知函数 ， sin21fx， 是 的导数，若存在 ，使得 成立，2sinco4gxaxagx 0,2xfg则实数 的取值范围是（ ）A
11、B C D ,10,1,21,20,【答案】D6 【河北省定州中学 2018 届高三下学期第一次月考】若函数 在区间 上13esinxf3,5的最大值、最小值分别为 、 ，则 的值为（ ） pqA B C D 2163【答案】C【解析】因为 1 13esinsin3ex xf所以 1si iex xfxf（ ） ， （ ）因为函数 为奇函数，所以它在区间 上的最大值、最小值之和为 0，3f（ ） 4,也即 ，0pq所以 67 【吉林省实验中学 2017-2018 学年上学期期末考试】定义在 上的函数 满Rfx足 当 时， 0fxfx4821xxf（）求 的解析式；（）当 时，求 的最大值和最小
12、值3,1xfx【答案】() ；() ， .18,0420,xxxf=17fx最 小 值 1fx最 大 值所以 181,0420, xxxxf（）令 ， ，则 ，对称轴为 ，12t,8t281yt42,8t当 ，即 时， ，4tx=637fx最 小 值当 ，即 时， .8341最 大 值【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式，一般反用定义如奇函数利用 ，偶函数利用fxf，但奇函数要注意 处的定义，另外求指数型复合函数的最值时，常用换元法，可以(0fxf0x简化函数的形式，转化为其他函数求最值，解题要注意新元的范围.8 【安徽省宿州市 2018 届高三上学期第一次教学质量检测】已知函数 .()=|
13、+4|+(1)当 时求函数 的最小值；=0 ()(2)若函数 在 上恒成立求实数 的取值范围 .()5 1,4 【答案】(1)4.(2) .(,92（）由题意得 在 上恒成立，|+4|+5 1,4即 在 上恒成立，|+4|51,4所以 在 上恒成立，5+451,4即 在 上恒成立，25+45 1,4设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，()=+4,1,4 () 1,2 2,4 ，()=(2)=4又 ，(1)=5,(4)=5，254解得 ，92所以实数 的取值范围是 (,929 【2018 年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知 ，则 的最0,ab2269ab大值是_【答案】 3 23t 84tt又 在 上为单调递增4yt23, 8mint 的最大值是2269ab38故答案为 .3点睛：解答本题的关键是将等式化简到 ，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用23810ba对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如 的函数称为对(0,)bfxa勾函数，其单调增区间为 ， ；单调减区间为 ， .,ba,a10 【全国名校大联考 2017-2018 年度高三第三次联考】若不等式 在 上恒成立，229tta0,则 的取值范围是_a【答案】 2,13
