1、第 1 页（共 32 页）2016-2017 学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ）A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2）2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3如图，在ABC 中，DEBC ，AD=6，DB=3 ，AE=4，则 AC 的长为（ ）A2 B4 C6 D84如图，在平面直角坐标系中，直线 OP 过点（1，3） ，则 tan 的值是（ ）A B3 C D5如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，C
2、D 与O 相切于点 D，若C=40，则 CDA 的度数是（ ）A110 B115 C120 D1256如图，A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若第 2 页（共 32 页）S 阴影 =1，则 S1+S2=（ ）A3 B4 C5 D67如图，反比例函数 y1= 与一次函数 y2=ax+b 交于点（4，2） 、 （ 2，4）两点，则使得 y1y 2 的 x 的取值范围是（ ）A 2 x4 Bx2 或 x4C 2x0 或 0x 4 D 2x 0 或 x48根据表中的二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与 x
3、 轴（ ）x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧C有两个交点，且它们均在 y 轴同侧D无交点9已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（ ）Am=1 Bm=3 Cm 1 Dm 1第 3 页（共 32 页）10如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过 O 点作 OEAC ，交 AB 于 E，若 BC=4，AOE 的面积是 5，则下列说法错误的是（ ）AAE=5 BBOE=BCE CCE OB DsinBOE=二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共
4、 20 分）11若 = ，则 = 12已知线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点，则 CC= 13如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则 sinA= 14如图，直线 y=x+b（b 0）与双曲线 y= （x 0）交于 A、B 两点，连接OA、OB，AMy 轴于 M，BNx 轴于 N，现有以下结论：OA=OB；AOMBON ；若AOB=45，则 SAOB =k；当 AB= 时，AM=BN=1其中结论正确的是 第 4 页（共 32 页）三、解答题（共 9 小题，共 90 分）15求值： cos245sin30tan60+ sin6016已知
5、二次函数的顶点坐标为 A（1，9） ，且其图象经过点（1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与 x 轴的交点为 B、C，求ABC 的面积17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 2，1） 、B（3 ，2 ） 、C（1，4） （1）以原点 O 为位似中心，在第二象限内画出将ABC 放大为原来的 2 倍后的A 1B1C1（2）画出ABC 绕 C 点逆时针旋转 90后得到的 A2B2C18如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求 CD 的长19已知：如图，在O 中，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，连接
6、OA，BD（1）若 AE= ，DE=1，求 OA 的长（2）若 OABD，则 tanOAE 的值为多少？第 5 页（共 32 页）20如图，根据道路管理规定，直线 l 的路段上行驶的车辆，限速 60 千米/时，已知测速站点 M 距离直线 l 的距离 MN 为 30 米（如图所示） ，现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒，AMN=60，BMN=45（1）计算 AB 的长；（2）通过计算判断此车是否超速 （ 1.4， 1.7）21如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y= 相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与y 轴相交于点 C（1）求 m，n 的值；（2）
7、若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPAB =SDAB ？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，说明理由22为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角MON（MON=135 ）的两边为边，用总长为 120m 的围网在水库中围成了如图所示的三块区域，其中区域为直角三角形，区域为矩形，而且四边形 OBDG 为直角梯形（1）若这块区域的面积相等，则 OB 的长度为 m；第 6 页（共 32 页）（2）设 OB=x，四边形 OBDG 的面积为 ym2，求 y 与 x 之的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；设这三块区域的面
8、积分别为 S1、S 2、S 3，若 S1：S 2：S 3=3：2：1，求GE：ED：DC 的值23某班“手拉手” 数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图 1，正方形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H ，则 EF GH；（填“ ”“=”或“”）（2）如图 2，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H ，求证： = ；（3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，BC=
9、3，CD=5， AD=7.5，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值第 7 页（共 32 页）2016-2017 学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ）A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2）【考点】二次函数的性质【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标【解答】解：顶点式 y=a（x h） 2+k，顶点坐标是（h，k） ，抛物线 y=（ x1） 2+2 的顶点坐标是（1，2） 故选 D2下列图形中既是轴对称图形又是中
10、心对称图形的是（ ）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误故选：A3如图，在ABC 中，DEBC ，AD=6，DB=3 ，AE=4，则 AC 的长为（ ）第 8 页（共 32 页）A2 B4 C6 D8【考点】平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例求出 EC，即可解答【解答】解：DEBC， ，即 ，解得：EC=2，AC=A
11、E+EC=4+2=6 ；故选：C4如图，在平面直角坐标系中，直线 OP 过点（1，3） ，则 tan 的值是（ ）A B3 C D【考点】解直角三角形；坐标与图形性质【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案【解答】解：如图：作 PCy 轴于点 C，tan= = ，故选 A第 9 页（共 32 页）5如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若C=40，则 CDA 的度数是（ ）A110 B115 C120 D125【考点】切线的性质【分析】连接 OD，如图，根据切线的性质得ODC=90，利用互余得COD=50，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得
12、ODA= COD=25，然后计算ODC +ODA 即可【解答】解：连接 OD，如图，CD 与O 相切于点 D，ODCD，ODC=90，COD=90C=90 40=50，OA=OD，A=ODA ，而COD=A +ODA ，ODA= COD=25，CDA=ODC+ODA=90+25=115故选 B第 10 页（共 32 页）6如图，A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影 =1，则 S1+S2=（ ）A3 B4 C5 D6【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】首先根据反比例函数 中 k 的几何意义，可知 S 矩形 ACOD=S 矩形BEOF=|
13、k|=3，又 S 阴影 =1，则 S1=S 矩形 ACODS 阴影 =2，S 2=S 矩形 BEOFS 阴影 =2，从而求出S1+S2 的值【解答】解：A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、 B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3，又S 阴影 =1，S 1=S2=31=2，S 1+S2=4故选 B7如图，反比例函数 y1= 与一次函数 y2=ax+b 交于点（4，2） 、 （ 2，4）两点，则使得 y1y 2 的 x 的取值范围是（ ）第 11 页（共 32 页）A 2 x4 Bx2 或 x4C 2x0 或 0x 4 D 2x 0 或 x4【考点】反比
14、例函数与一次函数的交点问题【分析】求 x 的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的自变量 x 的取值范围【解答】解：根据函数的图象可得：x 的取值范围是 2x0 或 0x4故选 D8根据表中的二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与 x 轴（ ）x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧C有两个交点，且它们均在 y 轴同侧D无交点【考点】二次函数的性质【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可【解答】解：由题意可知抛物线过（0，0.5） ， （1， 2） ， （
15、1，4） ，第 12 页（共 32 页）代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=0.5x23x+0.5，令 y=0 可得 0.5x23x+0.5=0，解得 x=3+ 或 x=3 ，都大于 0，抛物线与 x 轴有两个交点，且它们都在 y 轴的右侧，故选 C9已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（ ）Am=1 Bm=3 Cm 1 Dm 1【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 1 列式计算即可得解【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x= ，当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大，
16、1，解得 m1故选 D10如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过 O 点作 OEAC ，交 AB 于 E，若 BC=4，AOE 的面积是 5，则下列说法错误的是（ ）第 13 页（共 32 页）AAE=5 BBOE=BCE CCE OB DsinBOE=【考点】矩形的性质；解直角三角形【分析】A、作辅助线，构建矩形 AGOF，利用面积为 5，代入面积公式可求得AE 的长为 5，此说法正确；B、证明ABC +EOC=180，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B 、C、O四点共圆，则BCE=BOE，此说法正确；C、因为 E、B、C、O 四点共圆，所以根据垂径定理可知：要
17、想 OBCE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长 BE 和 OE 的大小即可；D、利用同角的三角函数计算【解答】解：A、过 O 作 OFAD 于 F，作 OGAB 于 G，四边形 ABCD 是矩形，AC=BD，OA= AC，OD= BD，OA=OD，AF=FD= AD= BC=2，AGO= BAD=AFO=90，四边形 AGOF 是矩形，OG=AF=2，S AEO = AEOG=5，AE= = =5，所以此选项的说法正确；B、OEAC，第 14 页（共 32 页）EOC=90ABC=90 ，ABC+EOC=180，E 、B 、C、O 四点共圆，BCE=BOE，所以此选项的说法正确；C、在 R
18、tBEC 中，由勾股定理得：BE= =3，AB=3+5=8，AC= = =4 ，AO= AC=2 ，EO= = = ，OEBE，E 、B 、C、O 四点共圆，EOC=90，EC 是直径，EC 与 OB 不垂直；此选项的说法不正确；D、sinBOE=sinBCE= = ，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选 C第 15 页（共 32 页）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11若 = ，则 = 【考点】比例的性质【分析】根据合比性质，可得答案【解答】解： = ，则 = = ，故答案为： 12已知线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点，则 CC= （
19、 2）a 【考点】黄金分割【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的 倍，可得 BC的长，同理求得 AC的长，则 CC即可求得【解答】解：线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点，较小线段 AC=BC= a，则 CC=ABACBC=a2 a=（ 2）a故答案是：（ 2）a第 16 页（共 32 页）13如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则 sinA= 【考点】锐角三角函数的定义【分析】过 B 作 BD 垂直于 AC，利用面积法求出 BD 的长，在直角三角形 ABD中，利用锐角三角函数定义求出 sinA 的值即可【解答】解：过点
20、 B 作 BDAC ，AB= = ，BC=3，AC= =2 ，S ABC = 32= 2 BD，解得：BD= ，在 RtABD 中，sinA= = = ，故答案为：14如图，直线 y=x+b（b 0）与双曲线 y= （x 0）交于 A、B 两点，连接OA、OB，AMy 轴于 M，BNx 轴于 N，现有以下结论：OA=OB；AOMBON ；若AOB=45，则 SAOB =k；当 AB= 时，AM=BN=1其中结论正确的是 第 17 页（共 32 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质【分析】设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，根据反比例函数图象上点的
21、坐标即可得出 x1y1=x2y2=k，将 y=x+b 代入 y= 中，整理后根据根与系数的关系即可得出 x1x2=k，从而得出 x2=y1、x 1=y2，即 ON=OM、AM=BN，利用全等三角形的判定定理 SAS 即可证出AOMBON，正确；根据全等三角形的性质即可得出 OA=OB，正确；作 OHAB 于点 H，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可得出AOH=BOH=22.5、AOM=BON=22.5 ，由相等的边角关系利用全等三角形的判定定理 AAS 即可证出AOMAOH，同理即可得出AOM AOHBONBOH，再利用反比例系数 k 的几何意义即可得出SAOB =k，正确；延长 MA
22、、NB 交于 G 点，由 NG=OM=ON=MG、BN=AM 可得出 GB=GA，进而得出ABG 为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质以及 AB= 即可得出 GA、GB 的长度，由 OM、ON 的值不确定故无法得出AM、BN 的值，错误综上即可得出结论【解答】解：设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，点 A、B 在双曲线 y= 上，x 1y1=x2y2=k将 y=x+b 代入 y= 中，整理得：x 2bx+k=0，x 1x2=k，又x 1y1=k，x 2=y1，x 1=y2，ON=OM，AM=BN 第 18 页（共 32 页）在OMA 和 ONB 中， ，AOM BON（
23、SAS） ，正确；AOM BON，OA=OB，OA=OB，AOMBON ，正确；作 OHAB 于点 H，如图 1 所示OA=OB，AOB=45，AOMBON ，AOH= BOH=22.5，AOM=BON=22.5在AOM 和 AOH 中， ，AOM AOH（AAS） ，同理：BONBOH，AOM AOHBONBOH，S AOB =SAOH +SBOH =SAOM +SBON = k+ k=k，正确；延长 MA、NB 交于 G 点，如图 2 所示NG=OM=ON=MG，BN=AM，GB=GA，ABG 为等腰直角三角形，当 AB= 时，GA=GB= AB=1，OM、ON 不确定，无法得出 AM=A
24、N=1， 错误综上所述：结论正确的是故答案为：第 19 页（共 32 页）三、解答题（共 9 小题，共 90 分）15求值： cos245sin30tan60+ sin60【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解： cos245sin30tan60+ sin60= + = += 16已知二次函数的顶点坐标为 A（1，9） ，且其图象经过点（1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与 x 轴的交点为 B、C，求ABC 的面积第 20 页
25、（共 32 页）【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式【分析】 （1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程（x1） 2+9=0 得到 B、C 两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x 1） 2+9，把（1，5）代入得 a（1 1） 2+9=5，解得 a=1，所以抛物线解析式为 y=（x1） 2+9；（2）当 y=0 时，（x1） 2+9=0，解得 x1=4，x 2=2，所以 B、C 两点的坐标为（2，0） ， （4，0） ，所以ABC 的面积= 9（4+2）=2717如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分
26、别为 A（ 2，1） 、B（3 ，2 ） 、C（1，4） （1）以原点 O 为位似中心，在第二象限内画出将ABC 放大为原来的 2 倍后的A 1B1C1（2）画出ABC 绕 C 点逆时针旋转 90后得到的 A2B2C【考点】作图-位似变换；作图 -旋转变换【分析】 （1）把点 A、B、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 A1、B 1、C 1 的坐标，然后第 21 页（共 32 页）描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B 的对应点 A2、B 2 即可得到A2B2C【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作；（2）如图，A 2B2C 为所作；18如图，ABC 中，D 为 BC 上一
27、点，BAD=C，AB=6，BD=4，求 CD 的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】易证BAD BCA，然后运用相似三角形的性质可求出 BC，从而可得到 CD 的值【解答】解：BAD=C，B=B ，BAD BCA， = AB=6，BD=4， = ，BC=9，第 22 页（共 32 页）CD=BCBD=94=519已知：如图，在O 中，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，连接OA，BD（1）若 AE= ，DE=1，求 OA 的长（2）若 OABD，则 tanOAE 的值为多少？【考点】圆周角定理；解直角三角形【分析】 （1）根据垂径定理可得 ODAB，然后设 AO=x，
28、则 DO=x，EO=x 1，利用勾股定理可得（ ） 2+（x 1） 2=x2，再解即可；（2）首先证明AEOBEO，进而可得 EO=ED，然后可得OAB=30 ，再利用特殊角的三角函数可得答案【解答】解：（1）直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，ODAB，设 AO=x，则 DO=x，DE=1 ，EO=x1，在 RtAOE 中： AE2+EO2=AO2，（ ） 2+（x1） 2=x2，解得：x=3，AO=3；（2）OABD，第 23 页（共 32 页）OAB= EBD，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，AE=BE，EOAB，在AOE 和BDE 中 ，
29、AEOBEO（ASA） EO=ED，AO=DO，OE= AO，OAE=30，tanOAE= 20如图，根据道路管理规定，直线 l 的路段上行驶的车辆，限速 60 千米/时，已知测速站点 M 距离直线 l 的距离 MN 为 30 米（如图所示） ，现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒，AMN=60，BMN=45（1）计算 AB 的长；（2）通过计算判断此车是否超速 （ 1.4， 1.7）【考点】解直角三角形的应用第 24 页（共 32 页）【分析】 （1）已知 MN=30m，AMN=60，BMN=45求 AB 的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从 A
30、到 B 的速度，然后与 60 千米/时16.66 米/ 秒，比较即可确定答案【解答】解：（1）在 RtAMN 中，MN=30 ，AMN=60，AN=MNtanAMN=30 在 RtBMN 中，BMN=45 ，BN=MN=30 AB=AN+BN=（30+30 ）米；（2）此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒，此车的速度为：（30+30 ）6=5 +5 13.66，60 千米/ 时 16.66 米/秒，13.66 16.66不会超速21如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y= 相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与y 轴相交于点 C（1）求 m，n 的值；（2）若点 D 与点 C
31、关于 x 轴对称，求ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPAB =SDAB ？若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，说明理由第 25 页（共 32 页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】 （1）利用待定系数法求出 m，n 的值；（2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出点 D 的坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可【解答】解：（1）点 A（ 1，2）在双曲线 y= 上，2= ，解得，k=2，反比例函数解析式为：y= ，b= =1，则点 B 的坐标为（2，1） ，
32、 ，解得，m=1， n=1；（2）对于 y=x+1，当 x=0 时，y=1，点 C 的坐标为（ 0，1 ） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 D 的坐标为（ 0，1） ，第 26 页（共 32 页）ABD 的面积 = 23=3；（3）对于 y=x+1，当 y=0 时，x=1 ，直线 y=x+1 与 x 轴的交点坐标为（ 0，1） ，当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为（a，0） ，SPAB = |1a|2+ |1a|1=3，解得，a=1 或 3，当点 P 在 y 轴上时，设点 P 的坐标为（0，b） ，SPAB = |1b|2+ |1b|1=3，解得，b=1 或 3，P 点坐标
33、为（1，0）或（3，0）或（0，1）或（0，3） 22为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角MON（MON=135 ）的两边为边，用总长为 120m 的围网在水库中围成了如图所示的三块区域，其中区域为直角三角形，区域为矩形，而且四边形 OBDG 为直角梯形（1）若这块区域的面积相等，则 OB 的长度为 20 m；（2）设 OB=x，四边形 OBDG 的面积为 ym2，求 y 与 x 之的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；设这三块区域的面积分别为 S1、S 2、S 3，若 S1：S 2：S 3=3：2：1，求GE：ED：DC 的值【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的
34、应用【分析】 （1）首先证明 EG=EO=DB，DE=FC=OB，设 OB=CF=DE=x，则第 27 页（共 32 页）GE=OE=BD= =40x，由这块区域的面积相等，得到 （40x）2= x（40 x） ，解方程即可（2）根据直角梯形的面积公式计算即可由 S1：S 2：S 3=3：2：1，肯定（40x） 2= （ x2+800） ，推出 x= 或 40（舍弃） ，求得 EG=40 = ，ED=，DC= EG= ，由此即可解决问题【解答】解：（1）由题意可知，MON=135， EOB=D= DBO=90，EGO= EOG=45 ，EG=EO=DB，DE=FC=OB ，设 OB=CF=DE
35、=x，则 GE=OE=BD= =40x，这块区域的面积相等， （40x） 2= x（40x） ，x=20 或 40（舍弃） ，BC=20m故答案为 20（2）y= （ 40x）= x2+800（0x40） S 1：S 2：S 3=3：2：1， （40x） 2= （ x2+800） ，x= 或 40（舍弃） ，EG=40 = ，ED= ，DC= EG= ，第 28 页（共 32 页）EG：DE：DC= ： ： =6：3：423某班“手拉手” 数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图 1，正方形 ABCD 中，EFGH，
36、EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H ，则 EF = GH；（填“ ”“=”或“”）（2）如图 2，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H ，求证： = ；（3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，BC=3，CD=5， AD=7.5，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值【考点】相似形综合题【分析】 （1）EF=GH如图 1 中，过点 A 作 APGH，交 BC 于 P，过点 B 作BQ EF，交 CD 于 Q，交 BQ 于 T先证明四边形 AEF
37、P、四边形 BHGQ 都是平行四边形，推出 AP=GH，EF=BQ再证明ABPBCQ，推出 AP=BQ，即可解决问题（2）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 1，易证 AP=EF， GH=BQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延第 29 页（共 32 页）长线于 S，如图 3，易证四边形 ABSR 是矩形，由（1）中的结论可得= 设 SC=x，则 AR=BS=3+x，由ARDDSC，得 = = = = ，推出 DR= x，DS=
38、（x+3） ，在 RtARD 中，根据 AD2=AR2+DR2，可得7.52=（x +3） 2+（ x） 2，求出 x 即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 APGH，交 BC 于 P，过点 B 作BQ EF，交 CD 于 Q，交 BQ 于 T四边形 ABCD 是正方形，ABDC，ADBC AB=BC，ABP=C=90四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形，AP=GH，EF=BQ 又GHEF ，AP BQ，PBT +ABT=90，ABT +BAT=90 ，CBQ= BAT，在ABP 和BCQ 中，ABPBCQ，AP=BQ，EF=GH，第 30 页（共 32 页）故答案为=（2）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 2，四边形 ABCD 是矩形，AB DC ，ADBC四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形，AP=EF，GH=BQ 又GHEF ，AP BQ，QAT +AQT=90四边形 ABCD 是矩形，DAB=D=90，DAP+DPA=90，AQT=DPAPDAQAB， = ， = ；（3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延长线于 S，如图 3，则四边形 ABSR 是平行四边形ABC=90 ，ABSR 是矩形，
