1、专题限时集训(七) 空间线、面的位置关系(建议用时：60 分钟)一、选择题1设 ， 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A若 l， ，则 lB若 l， ，则 l C若 l， ，则 l D若 l， ，则 lB 若 l，则 l 或 l ，故 A 错误；若 l， ，由平面平行的性质，可得 l，故 B 正确；若 l， ，则 l 或 l ，故 C 错误；若 l， ，则 l 或 l 或 l，故 D 错误；故 选 B.2(2018安庆模拟 )正四面体 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BD 的中点，则异面直线 AF， CE 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 16
2、66C 取 BF 的中点 G，连接 CG，EG，(图略) 易知 EGAF，所以异面直线AF，CE 所成的角即为GEC(或其补角)不妨设正四面体棱长为 2，易求得 CE ，EG ，CG ，由余弦定理332 132得 cos GEC ，异面直线 AF，CE 所成EG2 CE2 CG22EGCE34 3 134232 3 16角的余弦值为 .163如图 2428，四边形 ABCD 中，AD BC，AD AB，BCD45 ，BAD90，将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是 ( )图 2428A平面 ABD平面 ABCB平面
3、 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABCD 在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BD CD.又平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD 平面 BCDBD， CD 平面ABD，则 CD AB.又 ADAB，ADCDD，AB平面 ADC，又 AB平面ABC，平面 ABC平面 ADC，故 选 D.图 24294(2018南昌模拟 )如图 2429，在四面体 ABCD 中， 已知ABAC，BDAC，那么点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上 C直线 AC 上DABC 内部A 因 为 ABAC，B
4、DAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD，又 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD，所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直线AB 上 5在正方形 ABCDA1B1C1D1 中，E 是线段 BC 上的动点，F 是线段 CD1 上的动点，且 E，F 不重合，则直线 AB1 与直线 EF 的位置关系是( )A相交且垂直 B共面C平行 D异面且垂直D 连 接 A1B，则 AB1平面 A1BCD1，又 EF平面 A1BCD1，则 AB1EF，且AB1，EF 是异面直线，故选 D.6如图 2430 是四棱锥的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F，G，H 分别为 PA，
5、PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论中错误的是( )图 2430A平面 EFGH平面 ABCDB直线 BE，CF 相交于一点CEF平面 BGDDPA平面 BGDC 把 图形还原为一个四棱锥，如图所示，根据三角形中位线的性质，可得 EHAB，GHBC，平面 EFGH平面 ABCD，A 正确；在PAD 中，根据三角形的中位线定理可得 EFAD，又AD BC，EFBC，因此四边形 EFCB 是梯形，故直线 BE 与直线 CF相交于一点，所以 B 是正确的； 连接 AC，设 AC 中点 为 M，则 M 也是 BD 的中点，连接 MG，因为 MGPA，且直线 MG 在平面 BDG 上
6、，所以有 PA平面 BDG，所以 D 是正确的；EF BC ，EF平面 PBC，BC平面 PBC，直线 EF平面PBC，再结合 图形可得：直 线 EF 与平面 BDG 不平行，因此 C 是错误的，故选 C.7如图 2431 所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为m，n，那么 mn( )图 2431A8 B9 C10 D11A 如 图， CE平面 ABPQ，从而 CE平面 A1B1P1Q1，易知 CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4， EF平面 BPP1B1，EF平面 AQQ1A1，且EF 与正方
7、体的其余四个面所在平面均相交，n4，故 mn8，选 A.8(2018武汉模拟 )如图 2432，在矩形 ABCD 中，AB ，BC1，将3ACD 沿 AC 折起，使得 D 折起后的位置为 D1，且 D1 在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( )图 2432A2 B3 C4 D5B 设 D1 在平面 ABC 上的射影为 E，连接 D1E，则 D1E平面 ABC，D 1E 平面 ABD1，平面 ABD1平面 ABC.D 1E 平面 ABC，BC平面 ABC，D 1E BC，又 ABBC，D 1EABE，BC平面 ABD
8、1，又 BC平面 BCD1，平面 BCD1平面 ABD1，BC平面 ABD1，AD1平面 ABD1，BCAD 1，又 CD1AD 1，BCCD 1C，AD 1 平面 BCD1，又 AD1平面 ACD1，平面 ACD1平面 BCD1.共有 3 对平面互相垂直，故选 B.二、填空题9(2018黄山模拟 )已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长和高均为 1，则异面直线 SC 与 DE 所成角的大小为_设正六边形 ABCDEF 的中心为 O，连接 SO，CO，BO，则由正六边形的性4质知 OCDE，SO平面 ABCDEF，所以SCO 为异面直线 SC 与 DE 所成角又易知BOC 为等边三角形，所以
9、 SOBCCO 1，所以SCO .410已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，有下列命题：若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行；若 m，n ，则 mn；若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线；若 n，mn，则 m 且 m.其中真命题有_(填写所有正确命题的编号) 若 m，n 平行于同一平面， 则 m 与 n 平行或相交或异面，故错误；若 n， 则 n 垂直于 内的所有直线，又 m ，则 mn，故 正确；若 ， 不平行， 则 ， 相交，设 l，在 内作直线 al，则 a，故错误；若 n，mn， 则 m 或 m 或 m 或 m ，故错误所以正确命题的序号是.11如
10、图 2433 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别是AA1，A 1D1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：图 2433A 1CMN；A 1C平面 MNPQ；A 1C 与 PM 相交；NC 与 PM 异面其中正确的结论是_(填写所有正确命题的序号) MN平面 A1DC，从而 MNA 1C，故 正确；A1C 与平面 MNPQ 相交，故 错误；A 1C 与 PM 都在平面 ACC1A1 内，且不平行，因此 A1C 与 PM 相交，故 正确；点 P，M，C 都在平面 ACC1A1 内，点 N 不在平面 ACC1A1 内，故 NC 与 PM 异面，因此正确12如图
11、2434，PA O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E ，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论：图 2434AFPB；EF PB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确命题的序号是_ PA O 所在的平面，AB 是O 的直径，CBPA， CBAC，又 PAACA，CB平面 PAC.又 AF平面 PAC，CBAF.又F 是点 A 在 PC 上的射影，AFPC，又 PCBCC， PC，BC平面 PBC，AF平面 PBC，故正确又E 为 A 在 PB 上的射影，AEPB，PB平面 AEF，故正确而 AF平面 PCB，AE 不可能垂直于平面 PBC.故错三、解答题
12、13(2018烟台模拟 )已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 3，E，F 分别为 CC1，BB 1 上的点，且 EC3FB3，点 M 是线段 AC 上的动点，如图 2435所示图 2435(1)试确定点 M 的位置，使 BM平面 AEF，并说明理由；(2)若 M 为满足(1) 中条件的点，求三棱锥 MAEF 的体积解 (1)当点 M 是线段 AC 靠近点 A 的三等分点时，BM 平面 AEF.事实上，在 AE 上取点 N，使 AN AE，于是 ，13 ANAE AMAC 13所以 MNEC 且 MN EC.13由题意知，BFEC 且 BF EC，所以 MNBF 且 MNBF，13所
13、以四边形 BMNF 为平行四边形，所以 BMFN.又 FN平面 AEF，BM平面 AEF，所以 BM平面 AEF.(2)连接 EM，FM.因为三棱柱 ABCA1B1C1 是正三棱柱，所以 BB1平面 ACC1A1.所以 V 三棱锥 MAEFV 三棱锥 FAEMV 三棱锥 BAEM，取 AC 的中点 O,连接 BO，则 BOAC.因为三棱柱 ABCA1B1C1 是正三棱柱，所以 AA1平面 ABC.又 BO 平面 ABC，所以 AA1BO.因为 BOAC，BO AA 1，ACAA 1A，所以 BO平面 ACC1A1.所以 BO 为三棱锥 BAEM 的高又在正三角形 ABC 中，BO .332V
14、三棱锥 MAEFV 三棱锥 BAEM SAEM BO .13 13 (1213) 332 33414如图 2436，在平行四边形 ABCD 中，AB 1，AD2，BAD120，四边形 EBDF 是矩形，BE1，平面 EBDF平面 ABCD.图 2436(1)求证：AECF；(2)求直线 CF 与平面 EBDF 所成角的正弦值解 (1)证明：连接 AC，在ABC 中，AB1， BC2，ABC 60，由余弦定理易得 AC ，所以 AB2AC 2BC 2，3则 ABAC.又 ABCD，所以 ACCD ，同理在BCD 中，由余弦定理易得 BD ，7又四边形 EBDF 是矩形，则 BEBD，又平面 EB
15、DF平面 ABCD，且平面 EBDF平面 ABCDBD，所以 BE平面 ABCD，又 BC平面 ABCD，所以 BEBC，同理 FDDC，ACDF ，由勾股定理易求得 EC ，CF ，5 2又 EFBD ，显然 EF2CE 2CF 2，故 CECF.7由 ACCD ，ACDF，CDDFD，所以 AC平面 CDF，所以 ACCF，又 ACCEC，所以 CF平面 ACE，所以 CFAE.(2)过点 C 作 BD 的垂线，垂足为 H，连接 FH，显然 CH平面 EBDF，则 FH为 CF 在平面 EBDF 内的射影，于是CFH 为直线 CF 与平面 EBDF 所成角的平面角，由 SBCD |CH|BD| |BC|CD|sin 120，解得 |CH| ，sinCFH 12 12 217 |CH|CF| 2172.4214
