1、专题限时集训(六) 空间几何体的三视图、表面 积和体 积(建议用时：60 分钟)一、选择题1已知圆锥的母线长为 8，底面圆周长为 6，则它的侧面积是 ( )A24 B48 C 33 D32A 圆锥的母线长为 8，底面圆周长为 6，圆锥 的侧面积为 S 侧 6824.12(教师备选)1当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥侧面展开图的圆心角等于( )A. B. C. D2 23 34D 设圆锥 的母线长为 l，底面半径 为 r，则 2， 2，因母线长 1，所以 r ，则侧面展开图扇形的弧长为 ，以rlr2 lr 12母线长为半径的扇形的圆心角为 ，故此时圆锥侧 面展开图的圆心角等于 .2已
2、知三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为( )A1 B1232 3C1 2 3 D18272 3C 设 正方体的棱长为 a，则其内切球半径 R1 ；棱切球直径 为正方体各面a2上的对角线长，则半径 R2 a；外接球直径为正方体的体对角线长，所以半径22R3 a，所以这三个球的体 积之比为 13( )3( )312 3 .故选 C.32 2 3 2 33(2018沈阳模拟 )已知 S，A ，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA 平面ABC， ABBC ，AB 1， BC ，若球 O 的表面积为 4，则 SA(
3、)2A. B122C. D.232B 根据已知把 SABC 补成如图所示的长方体因为球 O 的表面积为 4，所以球 O 的半径 R1,2R 2，解得 SA1，故 选 B.SA2 1 22(2018合肥模拟 )如图 2413，网格纸上每个小正方形的边长为 1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有 ( )图 2413A3 对 B4 对C5 对 D6 对B 由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，因为 AB平面 BCD，AE平面 ABC，CD平面 ABC，所以平面 ABE平面 BCD，平面 AEB平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，平面 AEDC平面 ABC，故选
4、 B.3(2018郑州模拟 )刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为 21，这个比率是不变的如图 2414 是一个阳马的三视图，则其表面积为( )图 2414A2 B2 2C3 D33 2B 由三视图可得该四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，有一条长度为 1 的侧棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角形，侧面积为2 112 11 ，底面 积是 1，所以其表面 积为 2 ，故选 B.12 12
5、 2 2 24已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为 S2，则 ( )S1S2A12 B13C1 4 D18C 如 图，由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍，不妨设底面圆半径为 r，则 lR2r 2， 2rR2r 2，解得 R2r.12 12故ADC30 ，DCB90.则 ， .BCBD 12 r内r外 12故 .S1S2 14故选 C.(教师备选)在三棱锥 PABC 中，侧棱 PAPB2，PC ，则当三棱锥 PABC 的三个6侧面的面积之和最大时，三棱锥 PABC 的内切球的表面积是( )A(32 8 ) B(3216 )6 6C(408 )
6、D(4016 )6 6D 由已知可得三棱锥的侧面 PAB 的面积 SPAB PAPBsinAPB2sinAPB，要使此面积最大，则APB90，同理12可知，当 PA，PB，PC 两两垂直时，三棱锥 PABC 的三个 侧面的面积之和最大如图，设内切球的球心为 O，则 O 到三棱锥的四个面的距离相等，均为球 O 的半径 r.因为 PAPB2，PC ，所以 BCAC ，AB2 ，可得ABC，APC，6 10 2APB，BPC 的面积分别为 4， ，2， ，所以 VPABC (4 2 )r 26 613 6 6 13，解得 r 2，所以内切球的表面积 S4r 2(4016 ).6 6 6二、填空题(教
7、师备选)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_设新的底面半径为 r，由题意得75242 28 r24r 28，13 13r 27，r .75(2018榆林模拟 )如图 2415，在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为_图 241548 根据三视图知几何体的直观图如图所示：三棱锥 PABC 是棱长为 4 的正方体的一部分，三棱锥 PABC 的外接球是此正方体的外接球， 设外接球的半径是 R，由正方体的性质可得
8、，2R 4 ，则 R2 ，即 该几何体外接42 42 42 3 3球的表面积 S4R 248.(教师备选)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为_由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r1，其高 h1，球556半径为 R ，该球的体积 V R3 3 .r2 (h2)2 1 14 54 43 43 ( 54) 5566(2017济南模拟 )已知某几何体的三视图及相关数据如图 2416 所示，则该几何体的体积为_图 2416由三视图得该几何体是底面半径为 1，高为 2 的圆锥体的一半和一个底43面半径为 1，高为 2 的圆柱体的一半的
9、组合体，所以其体积为 122 122 .12 13 12 43三、解答题7(2018广州模拟 )如图 2417，在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，AB BC，且 BC2AD4，E ，F 分别为线段 AB，DC 的中点，沿 EF把 AEFD 折起，使 AECF ，得到如下的立体图形(1)证明：平面 AEFD平面 EBCF；(2)若 BDEC，求点 F 到平面 ABCD 的距离图 2417解 (1)证明：由题意可得 EFAD，AEEF，又 AECF，EFCFF，AE平面 EBCF.AE平面 AEFD，平面 AEFD平面 EBCF.(2)过点 D 作 DGAE 交 EF 于点 G，连接 BG，则
10、 DG平面 EBCF，EC平面 EBCF，DGEC，又 BD EC，BDDGD，EC平面 BDG，又 BG 平面 BDG，ECBG.于是可得EGB BEC ， ， EB2EG BCAD BC8， EB2 .EGEB EBBC 2设点 F 到平面 ABCD 的距离为 h，由 VFABCV ABCF，可得 SABC hS BCF AE.BCAE， BCEB，AEEBE，BC平面 AEB，ABBC.又 AB 4 BC，AE2 BE2S ABC 448.12又 SBCF 42 4 ，AEEB2 ，12 2 2 28h4 2 16，解得 h2.2 2故点 F 到平面 ABCD 的距离为 2.8(2017
11、全国卷 )如图 2418，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD.图 2418(1)证明：AC BD；(2)已知ACD 是直角三角形，AB BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解 (1)证明：如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO.因为 ADCD，所以 ACDO.又由于ABC 是正三角形，所以 ACBO.从而 AC平面 DOB，故 ACBD.(2)连接 EO.由(1)及题设知 ADC90，所以 DOAO.在 Rt AOB 中，BO 2AO 2AB 2.又 ABBD，所以 BO2DO 2BO 2AO 2AB 2BD 2，故DOB 90.由题设知AEC 为直角三角形，所以 EO AC.12又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EO BD.12故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，12四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE12的体积之比为 11.
