1、11.3.1 量 词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.知识点一 全称量词与全称命题思考 观察下列命题：每一个三角形都有内切圆；所有实数都有算术平方根；对一切有理数 x,5x2 还是有理数.以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.答案 命题分别使用量词“每一个” “所有” “一切”.命题是真命题，命题是假命题.三个命题中的“每一个” “所有” “一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题为假命题.梳理 (1)
2、全称量词 “所有” 、 “每一个” 、 “任何” 、 “任意” 、 “一切” 、 “任给” 、 “全部”符号 全称命题 p 含有全称量词的命题形式 “对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 x M， p(x)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“ x M， p(x)”，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 x，使 p(x)不成立，即“ x M， p(x)不成立”.知识点二 存在量词与存在性命题思考 观察下列命题：有些矩形是正方形；存在实数 x，使 x5；至少有一个实数 x，使 x22 x20，则 a，
3、 b 的夹角为锐角；(2)x， y 为正实数，使 x2 y20；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对( x， y)都对应一点 P；(4)xN， x20.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断解 (1) ab| a|b|cos a， b0，cos a， b0.又 0 a， b，0 a， b0”是假命题 .反思与感悟 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 x x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).跟踪训练 2 有下列
4、四个命题： xR,2 x23 x40； x1，1,0,2x10； xN， x2 x； xN *， x 为 29 的约数，其中真命题的个数为_.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 3解析 中，2 x23 x42 2 0，(x34) 238故正确；中，当 x1 时，2 x1t22 t2，原命题等价于 t ， at22 t2 恒成立，12， 4令 y t22 t2( t1) 21，当 t 时， ymax10.12， 4只需 a10 即可.即所求实数 a 的取值范围是(10，).5引申探究本例改为： x 1,2，使 4x2 x1 2 at22 t2，原
5、命题等价于 t ，使 at22 t2 成立.12， 4令 y t22 t2( t1) 21，当 t 时， ymin1.12， 4只需 a1 即可. a 的取值范围为(1，).反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练 3 (1)已知关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集非空，求实数 a 的取值范围；(2)令 p(x)： ax22 x10，若对 xR， p(x)是真命题，求实数 a 的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题求参数范围解 (1)关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220
6、 的解集非空， (2 a1) 24( a22)0，即 4a70，解得 a ，实数 a 的取值范围为 .74 74， )(2)对 xR， p(x)是真命题，对 xR， ax22 x10 恒成立，当 a0 时，不等式为 2x10 不恒成立，当 a0 时，若不等式恒成立，则Error! a1，即 a 的取值范围为(1，).1.下列命题是“ xR， x23”的表述方法的有_.有一个 xR，使得 x23；对有些 xR，使得 x23；任选一个 xR，使得 x23；6至少有一个 xR，使得 x23.考点 存在量词与存在性命题题点 识别存在性命题答案 2.下列命题中全称命题的个数是_.任意一个自然数都是正整数
7、；有的等差数列也是等比数列；三角形的内角和是 180.考点 全称量词及全称命题题点 识别全称命题答案 2解析 是全称命题.3.下列存在性命题是假命题的是_.存在 xQ，使得 2x x30；存在 xR，使得 x2 x10；有的素数是偶数；有的有理数没有倒数.考点 存在量词与存在性命题题点 存在性命题真假的判断答案 解析 对于任意的 xR， x2 x1 2 0 恒成立，因此，使 x2 x10 的实数不(x12) 34存在，所以为假命题.4.对任意的 x3， xa 都成立，则 a 的取值范围为_.考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围答案 (，3解析 只有当 a3 时，对任意的 x3， x
8、a 都成立.5.用量词符号“” “”表述下列命题：(1)凸 n 边形的外角和等于 2.(2)有一个有理数 x 满足 x23.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 识别全称命题和存在性命题解 (1) x x|x 是凸 n 边形 ， x 的外角和是 2.(2)x Q， x2 3.71.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明
9、该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.一、填空题1.下列命题中，是全称命题且是真命题的是_.(填序号)对任意的 a， bR，都有 a2 b22 a2 b20； xR,2 x0.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 全称命题和存在性命题真假判断答案 解析 对于，当 x1 时，lg x0，正确；对于，当 x 时，tan x1，正确；对于 4，当 x0 时， x30，错误；对于， xR,2 x0，正确 .4.已知命题：“ x x|10 对任意 xR 都成立，当 m0 时，显然成立；当Error! 即 00 对于任意 xR 恒成立？并说明理由
10、；(2)若存在实数 x，使不等式 m f(x)0 成立，求实数 m 的取值范围.考点 全称量词及全称命题、存在量词及存在性命题题点 由全称命题和存在性命题真假求参数范围解 (1)不等式 m f(x)0 可化为 m f(x)，即 m x22 x5( x1) 24.要使m( x1) 24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可.故存在实数 m，使不等式 m f(x)0对于任意 xR 恒成立，此时 m4.(2)不等式 m f(x)0 可化为 mf(x).若存在实数 x，使不等式 mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)( x1) 24，所以 f(x)min4，故 m4.故所求实数 m
11、的取值范围是(4，).三、探究与拓展14.已知命题 p： f(x) 对 x(，0有意义；1 t3x命题 q：数列 an中， an n，且对 nN *，均有 log21a1a2 1a2a3 1an 1an 1anan 1恒成立.若命题 p 与 q 有且仅有一个正确，试求实数 t 的取值范围.1 t1 t考点 全称量词及全称命题题点 恒成立求参数的范围解 (1)对于命题 p，由 f(x) 在 x(，0上有意义，1 t3x知 1 t3x0， x(，0恒成立，即 t x， x(，0恒成立，解得 t1，(13)所以，若命题 p 成立，则 t1.(2)对于命题 q，因为 an n，所以 1a1a2 1a2
12、a3 1anan 1 (112) (12 13) (1n 1n 1)1 1，1n 1所以 log2 1，解得 t1.1 t1 t 13因为命题 p 与 q 有且仅有一个正确，所以，若命题 p 成立， q 不成立，则Error!12所以 t1 或 t ，13若命题 p 不成立， q 成立，Error!解得 t.综上可知， t 的取值范围是Error!.15.是否存在 k 和等差数列 an，使 ka 1 S2n Sn1 ，其中 S2n， Sn1 分别是等差数列 an2n的前 2n 项，前 n1 项的和.若存在，试求出常数 k 和数列 an的通项；若不存在，请说明理由.考点 存在量词与存在性命题题点
13、 存在性命题求参数的范围解 假 设 存 在 .设 an pn q(p， q 为 常 数 )， 则 ka 1 kp2n2 2kpqn kq2 1， Sn pn(n 1)2n12 qn.S2n Sn1 pn2 n( p q)，32 (q p2)则 kp2n22 kpqn kq21 pn2 n( p q).32 (q p2)故有Error!由，得 p0 或 kp .32当 p0 时，由，得 q0，而 p q0 不适合，故 p0.把 kp 代入，得 q ；32 p4把 q 代入，由 kp ，得 p .p4 32 3227从而 q ， k .827 8164故存在常数 k 及等差数列 an n ，满足题意.8164 3227 827
