1、2018 年 04 月 22 日 fago 的高中数学组卷一选择题（共 12 小题）1设集合 S=x|（x 2） （x3）0，T=x |x0，则 ST=（ ）A2 ，3 B （，23，+） C3，+ ） D （0，23，+）2若 z=1+2i，则 =（ ）A1 B1 Ci D i3已知向量 =（ ， ） ， =（ ， ） ，则ABC= （ ）A30 B45 C60 D1204某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（ ）A各月的平均最低气温都在
2、 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20的月份有 5 个5若 tan= ，则 cos2+2sin2=（ ）A B C1 D6已知 a= ，b= ，c= ，则（ ）Ab a c Babc Cb c a Dcab7执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6 ，那么输出的 n=（ ）A3 B4 C5 D68在ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（ ）A B C D9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A18+ 36 B54+18 C90 D8110在封
3、闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若ABBC，AB=6 ，BC=8，AA 1=3，则 V 的最大值是（ ）A4 B C6 D11已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： + =1（ ab0）的左焦点，A，B分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A B C D12定义“规范 01 数列” an如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为1，且对任意 k2m，a 1，a 2， ，a k 中 0 的个数不少于 1 的个
4、数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列” 共有（ ）A18 个 B16 个 C14 个 D12 个二填空题（共 4 小题）13若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 14函数 y=sinx cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象至少向右平移 个单位长度得到15已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时，f（x ）=ln （ x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 16已知直线 l：mx+y +3m =0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB |=2 ，则|CD|=
5、 三解答题（共 7 小题）17已知数列a n的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0（1）证明a n是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5= ，求 18如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， 2.646参考公式：相关系数 r= ，回归方程 =
6、+ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：= ， = 19如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC ，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4 ，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值20已知抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程21设函数 f（
7、x ）=acos2x+（a1） （cosx+1） ，其中 a0，记|f（x ）|的最大值为 A（）求 f（ x） ；（）求 A；（）证明：|f（x ）|2A 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）=2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标23已知函数 f（x ）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|
8、2x 1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围2018 年 04 月 22 日 fago 的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1设集合 S=x|（x 2） （x3）0，T=x |x0，则 ST=（ ）A2 ，3 B （，23，+） C3，+ ） D （0，23，+）【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S，找出 S 与 T 的交集即可【解答】解：由 S 中不等式解得：x 2 或 x3，即 S=（ ，23，+） ，T= （ 0，+） ，ST=（0 ，23，+） ，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若 z=1+2i
9、，则 =（ ）A1 B1 Ci D i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1 +2i，则 = = =i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3已知向量 =（ ， ） ， =（ ， ） ，则ABC= （ ）A30 B45 C60 D120【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【解答】解： ， ； ；又 0 ABC180 ；ABC=30 故选：A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三
10、角函数值求角4某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（ ）A各月的平均最低气温都在 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20的月份有 5 个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确B七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高
11、气温基本相同，都为 10，正确D平均最高气温高于 20的月份有 7，8 两个月，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键5若 tan= ，则 cos2+2sin2=（ ）A B C1 D【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos 2+sin2） ，再将“弦” 化“切”即可得到答案【解答】解：tan= ，cos 2+2sin2= = = = 故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值， “弦” 化“切” 是关键，是基础题6已知 a= ，b= ，c= ，则（ ）Ab a c Babc Cb c a D
12、cab【分析】b= = ，c= = ，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而得到答案【解答】解：a= = ，b= ，c= = ，综上可得：bac，故选：A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档7执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6 ，那么输出的 n=（ ）A3 B4 C5 D6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a， b，s ，n 的值，当 s=20 时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6 ，
13、s=6，n=1不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4 ，a=6 ， s=16，n=3不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题8在ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA 等于（ ）A B C D【分析】作出图形，令DAC=，依题意，可求得 cos= = =，sin= ，利用两角和的余弦即可求得答案
14、【解答】解：设ABC 中角 A、B 、C、对应的边分别为 a、b 、c，ADBC 于D，令DAC=，在ABC 中，B= ，BC 边上的高 AD=h= BC= a，BD=AD= a，CD= a，在 RtADC 中， cos= = = ，故 sin= ，cosA=cos（ +）=cos cossin sin= = 故选：A【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC=，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A18+ 36 B54+18 C90 D81【分析】由已知中的三视图可得：该几
15、何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：36=18，侧面的面积为：（33+3 ）2=18+18 ，故棱柱的表面积为：182+18+18 =54+18 故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键10在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若ABBC，AB=6 ，BC=8，AA 1=3，则 V 的最大值是（ ）A4 B C6 D【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1 的内切球半径为 ，代入球的体积公式，可得
16、答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8 ，AC=10 故三角形 ABC 的内切圆半径 r= =2，又由 AA1=3，故直三棱柱 ABCA1B1C1 的内切球半径为 ，此时 V 的最大值 = ，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键11已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： + =1（ ab0）的左焦点，A，B分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标
17、，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a ） ，分别令 x=c，x=0 ，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，A（ a，0） ，B （a ，0） ，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a ） ，令 x=c，可得 M（ c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ） ，由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM，即为 = ，化简可得 = ，即为 a=3c，可得 e= = 故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意
18、运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题12定义“规范 01 数列” an如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为1，且对任意 k2m，a 1，a 2， ，a k 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列” 共有（ ）A18 个 B16 个 C14 个 D12 个【分析】由新定义可得， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知， “规范 01 数
19、列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：0，0 ，0 ，0，1，1 ，1，1 ； 0，0，0，1 ，0，1，1，1； 0，0 ，0 ，1，1，0 ，1，1 ； 0，0，0，1 ，1，1，0，1； 0，0 ，1 ，0，0，1 ，1，1 ；0，0 ，1 ，0，1，0 ，1，1 ； 0，0，1，0 ，1，1，0，1； 0，0 ，1 ，1，0，1 ，0，1 ； 0，0，1，1 ，0，0，1，1； 0，1 ，0 ，0，0，1 ，1，1 ；0，1 ，0 ，0，1，0 ，1，1 ； 0，1，0，0 ，1，1，0，1；
20、0，1 ，0 ，1，0，0 ，1，1 ； 0，1，0 ，1，0，1 ，0，1共 14 个故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题二填空题（共 4 小题）13若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z最大，由 得 D（1 ， ） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数，确定求最值的条件14函
21、数 y=sinx cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象至少向右平移 个单位长度得到【分析】令 f（x）=sinx+ cosx=2sin（x + ） ，则 f（x ）=2sin（x+ ） ，依题意可得 2sin（x+ ）=2sin（x ） ，由 =2k （k Z） ，可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+ cosx=2sin（x+ ） ，y=sinx cosx=2sin（x ） ，f（ x）=2sin（x+ ） （ 0） ，令 2sin（x+ ）=2sin（x ） ，则 =2k （kZ） ，即 = 2k（kZ） ，当 k=0 时，正数 min= ，故答案为： 【点评】
22、本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（x+ ） （A 0， 0）的图象，得到 =2k （kZ ）是关键，也是难点，属于中档题15已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时，f（x ）=ln （ x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 2x+y +1=0 【分析】由偶函数的定义，可得 f（x）=f（x） ，即有 x0 时，f（x）=lnx 3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得 f（ x）=f（x ） ，当 x0 时，f（x）=ln （x）+3x ，即有x0 时，f （x）=lnx3x，f（x）= 3，可
23、得 f（ 1）=ln13=3，f（1）=1 3=2，则曲线 y=f（x）在点（1， 3）处的切线方程为 y（3）=2（x1） ，即为 2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题16已知直线 l：mx+y +3m =0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB |=2 ，则|CD|= 4 【分析】先求出 m，可得直线 l 的倾斜角为 30，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，|AB|=2 ，圆心到直线的距离 d=3
24、， =3，m=直线 l 的倾斜角为 30，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，|CD|= =4故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础三解答题（共 7 小题）17已知数列a n的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0（1）证明a n是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5= ，求 【分析】 （1）根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）S n=1+an， 0a n0当 n2 时，a n=SnSn1=1+an1an1
25、=anan1，即（1）a n=an1，0，a n010即 1，即 = ， （n2） ，a n是等比数列，公比 q= ，当 n=1 时，S 1=1+a1=a1，即 a1= ，a n= （ ） n1（2）若 S5= ，则若 S5=1+ （ ） 4= ，即（ ） 5= 1= ，则 = ，得 =1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n2 时，a n=SnSn1 的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力18如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y
26、与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， 2.646参考公式：相关系数 r= ，回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：= ， = 【分析】 （1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y
27、 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：r= = 0.993，0.993 0.75 ，故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（2） = = 0.103，= 1.3310.10340.92 ，y 关于 t 的回归方程 =0.10t+0.92，2016 年对应的 t 值为 9，故 =0.109+0.92=1.82，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC ，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4 ，M 为线段 AD 上一点，AM=2M
28、D，N为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【分析】 （1）法一、取 PB 中点 G，连接 AG，NG，由三角形的中位线定理可得NGBC，且 NG= ，再由已知得 AMBC，且 AM= BC，得到 NGAM，且NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NMAG，由线面平行的判定得到 MN平面 PAB；法二、证明 MN平面 PAB，转化为证明平面 NEM平面 PAB，在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA底面 ABCD，可得 PANE ，通过求解直角三角形得到 MEAB，由面面平行的判定可得平
29、面 NEM平面PAB，则结论得证；（2）连接 CM，证得 CMAD，进一步得到平面 PNM平面 PAD，在平面 PAD内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则 ANF 为直线 AN 与平面 PMN所成角然后求解直角三角形可得直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解答】 （1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG，N 为 PC 的中点，NGBC，且 NG= ，又 AM= ，BC=4，且 ADBC，AMBC ，且 AM= BC，则 NGAM，且 NG=AM，四边形 AMNG 为平行四边形，则 NMAG ，AG平面 PAB，NM 平面 PAB，MN平面 PA
30、B；法二、在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，在ABC 中，由已知 AB=AC=3，BC=4 ，得 cosACB= ，ADBC，cos ，则 sin EAM= ，在EAM 中，AM= ，AE= ，由余弦定理得：EM= = ，cosAEM= ，而在ABC 中，cos BAC= ，cosAEM=cosBAC ，即AEM=BAC ，ABEM，则 EM平面 PAB由 PA 底面 ABCD，得 PAAC ，又 NEAC，NEPA，则 NE平面 PABNEEM=E，平面 NEM 平面 PAB，则 MN平面 PAB；（2）解：在AMC 中，由 AM=2，AC=3，cos MAC= ，
31、得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC= AM 2+MC2=AC2，则 AMMC，PA 底面 ABCD，PA 平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD，CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角在 RtPAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN= = ，在 RtPAM 中，由 PAAM=PMAF，得 AF= ，sin 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，
32、考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题20已知抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程【分析】 （）连接 RF， PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PQF，即可证明 ARFQ；（）利用PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程【解答】 （）证明：连接 RF，PF，由 AP=AF，BQ=BF
33、及 APBQ，得AFP +BFQ=90，PFQ=90，R 是 PQ 的中点，RF=RP=RQ，PAR FAR，PAR= FAR，PRA=FRA，BQF +BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA= PQF，ARFQ（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，F（ ，0） ，准线为 x= ，SPQF = |PQ|= |y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，S ABF = |FN|y1y2|，PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，2|FN |=1，x N=1，即 N（1，0） 设 AB 中点为 M（x，y） ，由 得 =2（x 1x2） ，又 = ， =
34、 ，即 y2=x1AB 中点轨迹方程为 y2=x1【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题21设函数 f（x ）=acos2x+（a1） （cosx+1） ，其中 a0，记|f（x ）|的最大值为 A（）求 f（ x） ；（）求 A；（）证明：|f（x ）|2A 【分析】 （）根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f（x） ；（）讨论 a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（）由（I） ，结合绝对值不等式的性质即可证明：|f（x）|2A【解答】 （I）解： f（x）= 2asin2x（a1）sinx（II）
35、当 a1 时，|f（x）|=|acos2x+（a1） （cosx+1）|a |cos2x|+（a1）|（cosx+1）|a|cos2x|+（a1） （|cosx|+1）|a+2（a 1）=3a2=f （0） ，因此A=3a2当 0a1 时，f （x ）=acos2x+（a1） （cosx+1）=2acos 2x+（a 1）cosx 1，令 g（ t）=2at 2+（a 1）t 1，则 A 是|g（t）|在1，1上的最大值，g（ 1）=a ，g（1）=3a 2，且当 t= 时，g （t ）取得极小值，极小值为 g（ ）= 1= ， （二次函数在对称轴处取得极值）令1 1，得 a （舍）或 a 当
36、 0a 时，g （t ）在（1，1）内无极值点，|g（1）|=a ，|g（1）|=23a，|g（ 1）|g（1）|，A=23a，当 a1 时，由 g（ 1）g（1）=2（1a）0 ，得 g（1）g（1）g （） ，又|g （ ） |g（1）|= 0，A=|g（ ）|= ，综上，A= （III）证明：由（I）可得：|f（x ）|=|2asin2x（ a1）sinx|2a+|a 1|，当 0a 时，|f（x）|1+a24a2（2 3a）=2A，当 a1 时，A= = + + 1，|f（x）| 1+a2A，当 a1 时，|f（x）|3a 16a 4=2A，综上：|f（x）|2A 【点评】本题主要考查
37、函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，难度较大22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）=2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标【分析】 （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程；（2
38、）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标另外：设 P（ cos，sin） ，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，移项后两边平方可得 +y2=cos2+sin2=1，即有椭圆 C1： +y2=1；曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）=2 ，即有 （ sin+ cos）=2 ，由 x=
39、cos，y=sin ，可得 x+y4=0，即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y4=0；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立 可得 4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t 216（3t 23）=0，解得 t=2，显然 t=2 时， |PQ|取得最小值，即有|PQ|= = ，此时 4x212x+9=0，解得 x= ，即为 P（ ， ） 另解：设 P（ cos，sin） ，由 P 到直线的距离为 d= ，当 sin（ + ）=1 时，|PQ|的最小值为 ，此时可取 = ，即
40、有 P（ ， ） 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题23已知函数 f（x ）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x 1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围【分析】 （1）当 a=2 时，由已知得|2x 2|+26，由此能求出不等式 f（x）6的解集（2）由 f（x）+g （x ）=|2x1|+|2x a|+a3，得|x |+|x | ，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，f （x）=|2x 2|+2，f（ x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2 x12，解得1x3，不等式 f（x）6 的解集为 x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（ x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x |+2|x |+a3，|x |+|x | ，当 a3 时，成立，当 a3 时，|x |+|x | |a1| 0，（a 1） 2（3a ） 2，解得 2a3，a 的取值范围是2，+） 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用
