1、2.4 向量的应用,一,二,一、向量在平面几何中的应用 【问题思考】 1.已知ABC的三个顶点A(1,1),B(3,3),C(5,1),试判断ABC的形状. 提示:等腰直角三角形.,三,一,二,2.向量在平面几何中的常见应用有: (1)证明线段平行的问题,常用向量平行(共线)的条件. (2)证明线段垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:abab=0x1x2+y1y2=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). (3)求夹角问题,常利用向量的夹角公式:,(4)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的线性运算、向量模的公式. (5)向量的坐标法:对于有些平面几何问题
2、,如长方形、正方形、直角三角形等,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算来解决几何问题.,三,一,二,3.做一做:在直角梯形ABCD中,ABCD,CDA=DAB=90, CD=DA= AB,求证:ACBC.,证明:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设AD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),三,一,二,二、向量在解析几何中的应用 【问题思考】 1.若直线l过点A(-1,2),且与向量a=(3,2)平行,求l的方程. 提示:2x-3y+8=0. 2.填空:向量在解析几何中的应用 (1)若直线l的倾斜角为,斜率为k,向量a =(m
3、,n)平行于l,则k=tan = ;反之,若直线l的斜率k= ,则向量(m,n)一定与该直线平行; (2)向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行; (3)与a=(m,n)平行且过点P(x0,y0)的直线方程为n(x-x0)-m(y-y0)=0; (4) 过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为 m(x-x0)+n(y-y0)=0.,三,一,二,三,三、向量在物理中的应用 【问题思考】 1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某一物体上的一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于( ) A.(-1,-2) B.(1,-2
4、) C.(-1,2) D.(1,2) 提示:f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). 2.向量在物理中的常见应用有: (1)物理问题中常见的向量有力向量、速度向量等. (2)向量的加减法运算体现在力的合成与分解的过程中. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力向量与位移向量的数量积. 3.做一做:某人在无风条件下骑自行车的速度为v1,风速为v2(|v1|v2|),则逆风行驶的速度的大小为 . 答案:|v1|-|v2|,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”. (1)若 ,则四边形ABCD为平行四边形. ( ) (2)若 ,则ABCD. ( ) (3)直线x+y-3
5、=0的一个方向向量是(1,-1). ( ) (4)同一直线有无数个法向量. ( ) (5)物理中力的分解就是向量的减法. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量在平面几何中的应用 【例1】 如图,若点D是ABC内一点,并且满足AB2+CD2=AC2+BD2,求证:ADBC.分析:借助向量的减法分别表示出向量,然后代入已知条件证明.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟 用向量的方法证明有关平面图形中平行、 垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1如图,已知A
6、C,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EFBC.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量在解析几何中的应用 【例2】过点A(-2,1),求: (1)与向量a=(3,1)平行的直线方程; (2)与向量b=(-1,2)垂直的直线方程.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟已知直线l的方程Ax+By+C=0(A2+B20),则向量(A,B)与直线l垂直,即向量(A,B)为直线l的法向量;向量(-B,A)与l平行,故过点P(x0,y0)与直线l平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,已
7、知直线l:x-3y+5=0,求直线l的单位法向量.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,向量在物理中的应用 【例3】 已知两恒力F1=i+2j,F2=4i-5j(其中i,j分别是x轴、y轴上的单位向量)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求: (1)F1,F2分别对质点所做的功; (2)F1,F2的合力对质点所做的功. (力的单位为N,位移单位为m). 分析:要求力做的功,即求力与位移的数量积.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟在解题过程中要注意两方面的问题,一方面是如何把物理问题转化成数学
8、问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型,另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30和60,求重物平衡时,两根绳子拉力是多少?,探究一,探究二,探究三,易错辨析,易错点:混淆向量平行与直线平行 【典例】 已知点A(0,1),B(1,0),C(-1,2),D(2,-1),问AB与CD平行吗?,探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得在同一平面内,若两条直线无交点,则两直线平行;若a与b的方向相同或相反,则ab.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练如图,已知E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD, DA的中点,用向量法证明:四边形EFGH是平行四边形.,答案:A 2.已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为 . 答案:-1或2,3.已知两个粒子A,B从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为va=(4,3),vb=(3,4),则va在vb上的正射影为 .,4.如图所示,已知ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,求证: ACBD.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
